Méthodes de détermination du terme général d’une suite numérique

Suite arithmétique

Connaissant le terme initial et la raison: Si u est arithmétique de premier terme u_p et de raison r alors pour tout n ∈ N tel que n ≥ p on a u_n = u_p + (n − p)r.
Connaissant deux termes: Si u est arithmétique alors sa raison peut se calculer à partir de deux termes distincts u_j et u_k en posant r = (u_k − u_j) / (k − j).

Suite géométrique

Connaissant le terme initial et la raison: Si v est géométrique de premier terme v_p et de raison q alors pour tout n ∈ N tel que n ≥ p on a v_n = v_p × q^n−p.
Connaissant deux termes: Si v est géométrique ne s’annulant pas alors pour tout (j, k) ∈ N² tel que j ≠ k sa raison q est solution de l’équation q^k−j = v_k / v_j.
Pour une suite réelle, il n’y a qu’une solution réelle si k−j est impair, mais deux solutions réelles opposées sinon.
Dans le cas complexe, on se ramène au calcul des racines n-ièmes.

Suite arithmético-géométrique

Si u est une suite arithmético-géométrique satisfaisant la relation de récurrence ∀n ∈ N, u_n+1 = au_n + b avec a ≠ 1, on note λ l’unique solution de l’équation λ = aλ + b et on définit la suite v par ∀n ∈ N, v_n = u_n − λ.

On montre ensuite que la suite v est géométrique de raison a.

Après avoir calculé le premier terme de la suite v, on exprime son terme général puis on en déduit celui de u.

Étant donnée une suite arithmético-géométrique définie par u₀ = 0 et ∀n ∈ N, u_n+1 = 3u_n + 4, on résout l’équation λ = 3λ + 4, dont l’unique solution est −2.
Puis on introduit la suite v définie par ∀n ∈ N, v_n = u_n + 2. Alors pour tout n ∈ N on obtient v_n+1 = u_n+1 + 2 = (3u_n + 4) + 2 = 3v_n. Donc la suite v est géométrique de raison 3, d’où pour tout n ∈ N, v_n = v₀ × 3ⁿ = 2 × 3ⁿ et u_n = 2 × 3ⁿ − 2.

Suite récurrente double linéaire

Si u est une suite satisfaisant une relation de récurrence ∀n ∈ N, u_n+2 = au_n+1 + bu_n alors on résout l’équation caractéristique associée x² = ax + b et on distingue deux cas selon le nombre de solutions.

Si l’équation a deux solutions distinctes (réelles ou complexes) notées α et β, alors on sait qu’il existe deux coefficients A et B tels que pour tout n ∈ N on a u_n = Aαⁿ + Bβⁿ.
Si l’équation a une seule solutions notée α, alors on sait qu’il existe deux coefficients A et B tels que pour tout n ∈ N on a u_n = (An + B)αⁿ.

Dans les deux cas, on détermine les valeurs des coefficients à l’aide d’un système donné par les expressions de deux termes de la suite (en général u₀ et u₁).

Pour la suite de Fibonacci, l’équation caractéristique s’écrit x² − x − 1 = 0, dont les solutions sont le nombre d’or φ = 1 + √5/2 et son conjugué algébrique φ′ = 1 − √5/2.

Les coefficients sont les solutions du système { A + B = 0 Aφ + Bφ′ = 1 } c’est-à-dire A = 1/√5 et B = −1/√5 donc pour tout n ∈ N on a F_n = 1/√5(φⁿ − φ′ⁿ).

Suite avec une fonction de récurrence homographique

Si u est une suite satisfaisant une relation de récurrence ∀n ∈ N, u_n+1 = (au_n + b) / (cu_n + d) avec ad ≠ bc et c ≠ 0, alors on résout l’équation x = (ax + b) / (cx + d) ce qui se met sous la forme d’une équation du second degré cx² + (d − a)x − b = 0.

Si le terme initial de la suite est une solution de l’équation, alors la suite est constante. Sinon, on distingue plusieurs cas selon le nombre de solutions.

Si l’équation a deux solutions distinctes (réelles ou complexes) notées α et β, alors on montre que la suite v par ∀n ∈ N, v_n = (u_n − α) / (u_n − β) est géométrique et on calcule son terme initial, pour exprimer son terme général.
Si l’équation a une seule solution notée γ, on montre que la suite v par ∀n ∈ N, v_n = 1 / (u_n − γ) est arithmétique et on calcule son terme général.

Dans les deux cas, il ne reste qu’à résoudre l’équation définissant la suite v pour trouver le terme général de la suite u.