Méthodes de calcul de la limite d’une suite réelle

Suites de référence

• Pour tout q ∈ ]−1 ; 1[ on a lim_n→+∞ qⁿ = 0.
• Pour tout q ∈ ]1 ; +∞[ on a lim_n→+∞ qⁿ = +∞.
• Pour tout α ∈ R^∗+ on a lim_n→+∞ n^α = +∞.
• Pour tout α ∈ R^∗− on a lim_n→+∞ n^α = 0.
• Pour tout (q, α) ∈ ]−1 ; 1[ × R on a lim_n→+∞ qⁿn^α = 0.
• Pour tout (q, α) ∈ ]1 ; +∞[ × R on a lim_n→+∞ qⁿn^α = +∞.
• Pour tout q ∈ R on a lim_n→+∞ qⁿ/n! = 0.

Règles de calcul

Somme

(+∞) + (+∞) = +∞  et pour tout L ∈ R, (+∞) + L = +∞.

(−∞) + (−∞) = −∞  et pour tout L ∈ R, (−∞) + L = −∞.

Pas d’addition de +∞ et −∞.

Produit

∞ × ∞ = ∞  et pour tout L ∈ R*, ∞ × L = ∞  avec la règle des signes.

Pas de multiplication de 0 par ∞.

Inverse

1/∞ = 0 ; 1/0₊ = +∞ ; 1/0₋ = −∞

Quotient

Pas de division de 0 par 0.

Pas de division de l’infini par l’infini.

Puissance

Pas de d’exposant infini avec une base 1.

Composée

Si lim_n→+∞ u_n = a et lim_x→a f(x) = L alors lim_n→+∞ f(u_n) = L.

Comparaison et encadrement

Si pour tout n ∈ N à partir d’un certain rang on a u_n ≤ v_n et si lim_n→+∞ u_n = +∞ alors lim_n→+∞ v_n = +∞.

Si pour tout n ∈ N à partir d’un certain rang on a u_n ≤ v_n et si lim_n→+∞ v_n = −∞ alors lim_n→+∞ u_n = −∞.

Si pour tout n ∈ N à partir d’un certain rang on a u_n ≤ v_n ≤ w_n et si u et w convergent avec la même limite alors la suite v converge aussi avec la même limite.

Avec une fonction de récurrence continue

S’il existe une fonction f continue sur un intervalle I stable par f telle que pour tout n ∈ N à partir d’une certain rang on a u_n+1 = f(u_n) avec u_p ∈ I et si la suite u converge alors sa limite est un point fixe de f ou une extrémité ouverte de I.

Suite négligeable

On a l’équivalence u_n = o_n→+∞ (1)  ⟺ lim_n→+∞ u_n = 0.

Une limite peut donc éventuellement se calculer à partir d’un développement limité, notamment pour une somme algébrique.

Équivalent

Si u_n ∼_n→+∞ v_n alors lim_n→+∞ u_n = lim_n→+∞ v_n si ces limites existent.

Une limite peut donc se calculer à partir d’un équivalent, notamment pour un produit ou un quotient.

Somme de Riemann

S’il existe une fonction f définie et continue sur [0 ; 1] telle que pour tout n ∈ N^∗ on ait u_n = 1/n ∑_k=0ⁿ⁻¹ f(k/n) ou u_n = 1/n ∑_k=1ⁿ f(k/n) alors lim_n→+∞ u_n = ∫₀¹ f(t) dt.