Calcul de limite de fonction

Attention, les fonctions n'admettent pas toutes de limites aux bornes de leur domaine de définition.

Fonctions de référence

Règles de calcul

Somme

(+∞) + (+∞) = +∞  et pour tout L ∈ R, (+∞) + L = +∞.

(−∞) + (−∞) = −∞  et pour tout L ∈ R, (−∞) + L = −∞.

Pas d'addition de +∞ et −∞.

Produit

∞ × ∞ = ∞  et pour tout L ∈ R*, ∞ × L = ∞  avec la règle des signes.

Pas de multiplication de 0 par ∞.

Inverse

1/∞ = 0, 1/0₊ = +∞, 1/0₋ = −∞

Quotient

Pas de division de 0 par 0.

Pas de division de l'infini par l'infini.

Puissance

Pas de d'exposant infini avec une base 1.

Composée

Si lim_x→a u(x) = b et lim_X→b g(X) = L alors lim_x→a g(u(x)) = L.

En particulier, la limite d'une composée avec la fonction inverse permet de transformer une limite à l'infini en une limite en 0. De même, la composition avec la fonction u : x ↦ −x permet de transformer un calcul de limite en −∞ en une limite en +∞

Comparaison de croissance

Pour tout (p, q) ∈ R², si 0 < p < q,

• ln(x) = o_x→+∞ (x^p)
• x^p = o_x→+∞ (x^q)
• x^p = o_x→+∞ (e^x)
• x^q = o_x→0 (x^p).

Fonction négligeable

Si f est une fonction définie au voisinage de a (réel ou infini), on a l'équivalence f(x) = o_x→a (1)  ⟺ lim_x→a f(x) = 0.

Une limite peut donc se calculer à partir d'un développement limité, notamment pour une somme algébrique.

En particulier, pour un quotient de la forme f(x) / (x − a), si f est dérivable en a avec f(a) = 0, la limite du quotient en 0 est égale à f′(a).

Équivalent

Si f(x) ∼_x→a g(x) alors lim_x→a f(x) = lim_x→a g(x) si ces limites existent.

Une limite peut donc se calculer à partir d'un équivalent, notamment pour un produit ou un quotient.