Calcul de la dérivée

Définition

Si f est une fonction définie sur un intervalle réel I non dégénéré et à valeurs réelles ou complexes, le nombre dérivé de f en un réel a ∈ I, noté f′(a), est la limite du taux d'accroissement (f(x) − f(a))/(x − a) lorsque x tend vers a, si elle existe.

À un changement de variable près, elle se calcule aussi sous la forme f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h.

Cette limite peut se calculer directement ou à l'aide d'un développement limité.

Fonctions de référence

Fonction	Expression	Domaine de dérivabilité	Expression de la dérivée
Affine	`x` ↦ `ax` + `b`	R	`x` ↦ `a`
Inverse	`x` ↦ 1/`x`	R*	`x` ↦ −1/`x`²
Puissance d'exposant entier	`x` ↦ `x`ⁿ avec `n` ∈ Z	R si `n` ≥ 0, R* sinon.	`x` ↦ `nx`ⁿ⁻¹
Racine carrée	`x` ↦ √`x`	R^∗+	`x` ↦ 1/2√`x`
Exponentielle	exp	R	exp
Logarithme naturel	ln	R^∗+	`x` ↦ 1/`x`
Puissance d'exposant réel	`x` ↦ `x`^α avec `α` ∈ R	R^∗+	`x` ↦ `αx`^α−1
Sinus	sin	R	cos
Cosinus	cos	R	− sin
Tangente	tan	R ∖ {π/2 + `k`π, `k` ∈ Z}	1 + tan² = 1/cos²
Arc sinus	Arcsin	]−1 ; 1[	`x` ↦ 1/√(1 − `x`²)
Arc cosinus	Arccos	]−1 ; 1[	`x` ↦ −1/√(1 − `x`²)
Arc tangente	Arctan	R	`x` ↦ 1/(1 + `x`²)

Fonction

Expression

Domaine de dérivabilité

Expression de la dérivée

Affine

x ↦ ax + b

x ↦ a

Inverse

x ↦ 1/x

x ↦ −1/x²

Puissance d'exposant entier

x ↦ xⁿ avec n ∈ Z

R si n ≥ 0,
R* sinon.

x ↦ nxⁿ⁻¹

Racine carrée

x ↦ √x

R^∗+

x ↦ 1/2√x

Exponentielle

exp

Logarithme naturel

R^∗+

x ↦ 1/x

Puissance d'exposant réel

x ↦ x^α avec α ∈ R

R^∗+

x ↦ αx^α−1

Sinus

sin

cos

Cosinus

cos

− sin

Tangente

tan

R ∖ {π/2 + kπ, k ∈ Z}

1 + tan² = 1/cos²

Arc sinus

Arcsin

]−1 ; 1[

x ↦ 1/√1 − x²

Arc cosinus

Arccos

]−1 ; 1[

x ↦ −1/√1 − x²

Arc tangente

Arctan

x ↦ 1/1 + x²

Combinaisons de fonctions

Type	Formule
Somme	(`u` + `v`)′ = `u`′ + `v`′
Produit	(`u` × `v`)′ = `u`′`v` + `uv`′
Produit par un scalaire	(`ku`)′ = `ku`′
Inverse	(1/`v`)′ = −`v`′/`v`²
Quotient	(`u`/`v`)′ = (`u`′`v` − `uv`′)/`v`²
Composée	(`g` ∘ `u`)′ = `u`′ × (`g`′ ∘ `u`)
Réciproque	(`f`⁻¹)′ = 1/(`f`′ ∘ `f`⁻¹)

Type

Formule

Somme

(u + v)′ = u′ + v′

Produit

(u × v)′ = u′v + uv′

Produit par un scalaire

(ku)′ = ku′

Inverse

(1/v)′ = −v′/v²

Quotient

(u/v)′ = u′v − uv′/v²

Composée

(g ∘ u)′ = u′ × (g′ ∘ u)

Réciproque

(f⁻¹)′ = 1/f′ ∘ f⁻¹

Composées usuelles

(u^α)′ = α u′ u^α−1
(√u)′ = u′/2√u
(e^u)′ = u′ e^u
(ln ∘ u)′ = u′/u

Prolongement par continuité

Soit f une fonction définie sur un intervalle réel non dégénéré I et à valeurs réelles ou complexes. Soit a ∈ I.

Si la fonction f est continue sur I et dérivable sur I ∖ {a} et si la dérivée de f admet une limite finie en a, alors la fonction f est dérivable en a avec f′(a) = lim_x→a f′(x).

Fonction intégrale dépendant de ses bornes

D'après le théorème fondamental de l'analyse et la dérivée d'une composée,
si I et J sont deux intervalles réels non dégénérés,
si a et b sont deux fonctions dérivables sur I à valeurs dans J,
si g est une fonction continue sur J à valeurs réelles ou complexes
et si pour tout x ∈ I on a F(x) = ∫_a(x)^b(x) g(t) dt
alors la fonction F est dérivable sur I et pour tout x ∈ I on a
F′(x) = b′(x) × g(b(x)) − a′(x) × g(a(x)).