Exercices sur le produit scalaire

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Exercice
Soit u = (a, b) ∈ R2 ∖ {0}. Déterminer l’ensemble des vecteurs orthogonaux à u.
Exercice
Soit P1 = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − y + 3z = 0} et P1 = {(x, y, z) ∈ R3 : −x + 4y + 2z = 0}.
  1. Déterminer un vecteur u non nul de P1 ∩ P2.
  2. Déterminer un vecteur v non nul orthogonal à u dans P1.
  3. Déterminer un vecteur non nul orthogonal à u et v.
Exercice
  1. Montrer que les vecteurs u = (2 ; −1 ; −2) et v = (1, −2, 2) sont orthogonaux.
  2. En déduire une base orthonormée ℬ pour F = Vect(u, v).
  3. Déterminer une base de F⊥ et en déduire une base orthonormée de R3 qui prolonge ℬ.
Exercice
Soit A une matrice carrée symétrique, c’est-à-dire vérifiant AT = A. Soient X et Y deux vecteurs propres de A associés à des valeurs propres distinctes de A. Montrer que X et Y sont orthogonaux. On pourra calculer 〈AX,Y〉 de deux façons différentes.
Exercice
ENS 2016 exercice 2 question 1
Pour tout x = (x1, … , xn) ∈ Rn et y = (y1, … , yn) ∈ Rn, on pose φ(x, y) = ∑i=1n xiyi.
  1. Montrer que pour tout x ∈ Rn on a φ(x, x) ≥ 0.
  2. Déterminer tous les vecteurs x ∈ Rn tels que φ(x, x) = 0.
  3. Soit x ∈ Rn. On suppose que pour tout y ∈ Rn, φ(x, y) = 0. Montrer que x = 0.
Exercice
Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans Rn. Montrer que F⊥ et G⊥ sont aussi des sous-espaces supplémentaires.
Exercice
Soit F un sous-espace vectoriel de Rn. On note p la projection orthogonale sur F. Montrer que q = id − p est la projection orthogonale sur F⊥.
Exercice
Deux sous-espaces vectoriels sont dits perpendiculaires si l’un contient l’orthogonal de l’autre.
  1. Montrer que la relation de perpendicularité est symétrique.
  2. Montrer qu’il existe un unique plan vectoriel perpendiculaire aux plans d’équations respectives 5x − 4y + z = 0 et 3x + 2y − 2z = 0.

Problèmes

Problème : Distance à un sous-espace
On pose F = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 4x − y + 8t = 0}.
  1. Déterminer une base orthonormée de F⊥.
  2. Calculer la matrice représentative de la projection orthogonale sur F⊥.
  3. Montrer que la somme des projections orthogonales sur F et sur F⊥ est égale à l’identité.
    En déduire la matrice représentative de la projection orthogonale sur F.
  4. Calculer la distance du vecteur (1 ; 1 ; 1 ; 1) à l’espace F.
Problème : Produit vectoriel
Soient u = (x, y, z) et v = (x′, y′, z′) deux vecteurs de R3. On pose u ∧ v = (yz′ − zy′, zx′ − xz′, xy′ − yx′).
  1. Montrer que u ∧ v est un vecteur orthogonal à u et à v.
  2. Montrer que l’application v ↦ u ∧ v est linéaire.
  3. On pose u = (2 ; 3 ; −6). Montrer que l’application v ↦ u ∧ v n’est pas diagonalisable mais que v ↦ u ∧ (u ∧ v) l’est. Préciser les valeurs propres et espaces propres associés.
Problème : Matrice de Gram
Soit (u1, … , up) une famille de vecteurs de Rn. On note G la matrice de Rp dont les coefficients s’écrivent (〈ui, uj〉).
  1. Justifier l’égalité G = MTM où M est la matrice représentative de (u1, … , up).
  2. En déduire que rg(G) = rg(u1, … , up).
  3. Montrer que toutes les valeurs propres de G sont positives.
Problème : Étude d’un endomorphisme
HEC 2019 exercice 3

Cas particulier

On pose u = (1, 0, 1) et v = (1, 1, −1) et on considère l’application f définie sur R3 par f(x) = ⟨x, v⟩u + ⟨x, u⟩v.

  1. Vérifier que u et v sont orthogonaux.
  2. Calculer ∥u∥ et ∥v∥.
  3. Écrire la matrice A représentant l’endomorphisme f dans la base canonique.
  4. Déterminer une basede Ker(f).
  5. Calculer les images par f de w1 = √3u + √2v et w2 = −√3u + √2v.
    En déduire deux valeurs propres distinctes non nulles de f.
  6. Justifier que l’endomorphisme f est diagonalisable.

Cas général

Soient u et v deux vecteurs orthogonaux dans Rn avec n ⩾ 3. On note F le sous-espace vectoriel engendré par u et v et on considère l’application f définie sur Rn par f(x) = ⟨x, v⟩u + ⟨x, u⟩v.

  1. Montrer que f est un endomorphisme de Rn.
  2. Montrer que (u, v) est une base de F.
  3. Montrer que Ker(f) = F⊥.
  4. En déduire les dimensions respectives de Ker(f) et Im(f).
  5. Montrer que Im(f) = F.
  6. Soit w ∈ Rn un vecteur propre de f associé à une valeur propre λ ≠ 0. Montrer w ∈ Im(f).
  7. Donner toutes les valeurs propres de f ainsi que la dimension des sous-espaces propres associés.
  8. Justifier que f est diagonalisable.
Problème : Inertie d’une famille de vecteurs
ENS 2019 planche 4 exercice 2
Soit (x1, … , xn) ∈ (Rd)n tel que ∑i=1n xi = 0.
  1. Soit u ∈ Rd tel que ∥u∥ = 1. On note pu la projection orthogonale sur la droite vectorielle engendrée par u. Montrer que pour tout x ∈ Rd on a pu(x) = ⟨x, u⟩·u.
  2. Calculer ℐ(ℱu) = 1/n ∑i=1n ∥pu(xi)∥2.
  3. Montrer qu’il existe un endomorphisme f sur Rd tel que pour tout vecteur u unitaire, on ait ℐ(ℱu) = ⟨u, f(u)⟩.
  4. En admettant qu’un tel endomorphisme f admette une base orthonormée de vecteurs propres, montrer que maxu∈Rd, ∥u∥=1 ℐ(ℱu) est la plus grande des valeurs propres. Pour quel vecteur ce maximum est-il atteint ?