Soit (e1, … , en) une base orthonormée de Rn. ∀ x ∈ Rn,x = ∑i=1n
〈ei, x〉 ei ;
‖x‖2 = ∑i=1n
〈ei, x〉2 ;
Inégalité de Cauchy-Schwarz
∀ (x, y) ∈ (Rn)2,
〈x, y〉 ≤ ‖x‖ ‖y‖
Inégalité triangulaire
∀ (x, y) ∈ (Rn)2,
‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
Fonctions de plusieurs variables
Boule ouverte
Soit a ∈ Rn
et r ∈ R+∗ (centre et rayon).
B(a, r) = {x ∈ Rn : ‖x−a‖ < r}
Ouvert
Soit U ⊂ Rn.
U ouvert ⇔ ∀ a ∈ U,
∃ r > 0 : B(a, r) ⊂ U
Voisinage
Soit V ⊂ Rn
et a ∈ V.
V voisinage de a
⇔ ∃ r > 0 : B(a, r) ⊂ U
Continuité
Soit f une fonction définie sur un ensemble D ⊂ Rn. Soit a ∈ D. f continue en a
⇔ ∀ V voisinage de f(a) ∈ R,∃ U voisinage de a ∈ Rn :
f(U ∩ D) ⊂ V
Extremum local
Soit f une fonction définie au voisinage d’un point a ∈ Rn. f a un minimum local en a
⇔ ∃ r > 0 : ∀ x ∈ B(a,r),
f(x) ≥ f(a) ; f a un maximum local en a
⇔ ∃ r > 0 :∀ x ∈ B(a,r),
f(x) ≤ f(a) ;
Un extremum est un maximum ou un minimum.
Dérivées partielles
Soit f : U ⊂ Rn → R.
Soit x ∈ U et i ∈ ⟦1, n⟧. ∂if(x)
= ∂f(x)/∂xi)
est le nombre dérivé
de t ↦ f(x+tei) en 0.
Point critique
Un point critique d’une fonction est un point en lequel toutes les dérivées partielles s’annulent.
Condition nécessaire pour un extremum local
Soit f une fonction définie au voisinage d’un point x ∈ Rn. f admet un extremum local en x
⇒ x point critique de f
Fonction quadratique
La fonction (x1, x2) ↦ ax12
+ 2bx1x2
+ cx22
admet un extremum local (strict) en 0 si et seulement si le discriminant
Δ = b2 − 4 ac
est (strictement) négatif.
Dans ce cas, il s’agit d’un minimum si et seulement si a et c sont positifs.
Dérivées partielles d’ordre 2
Soit f une fonction dont les dérivées partielles admettent elles-mêmes des dérivées partielles. ∀i,j,
∂2i,jf
= ∂i(∂jf)
Théorème de Schwarz
Soit f une fonction dont les dérivées partielles d’ordre 2 sont continues. ∀i,j,
∂2i,jf
= ∂2j,if
Condition suffisante pour un extremum local
Soit f : R2 → R une fonction dont les dérivées partielles d’ordre 2 sont continues. Soit x un point critique de f.
Si la fonction quadratique q:y ↦
∂21,1f(x)y12+2∂21,2f(x)y1y2+∂22,2f(x)y22 a un discriminant strictement négatif, alors la fonction f admet un extremum local en x de même nature que celui de q en 0.