Rappels de mathématiques du lycée

Propriétés axiomatiques

Associativité : ∀ (a, b, c) ∈ R³, (a + b) + c = a + (b + c) ; (a × b) × c = a × (b × c)
Commutativité : ∀ (a, b) ∈ R², a + b = b + a ; a × b = b × a
Distributivité : ∀ (a, b, c) ∈ R³, a × (b + c) = a × b + a × c
Existence de neutres : ∀ a ∈ R, a + 0 = 0 + a = a ; a × 1 = 1 × a = a
Existence des opposés : ∀ a ∈ R, a + (−a) = 0
Existence des inverses : ∀ a ∈ R^∗, a × 1/a = 1

Règle d’annulation du produit

∀ (a, b) ∈ R², a × b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0

Égalité des produits en croix

∀ (a, b, c, d) ∈ R² × (R^∗)², a/c) = b/d) ⇔ ad = bc

Opérations réciproques

∀ (a, x) ∈ R⁺ × R, x² = a ⇔ x = √a ou x = −√(a)
∀ (x, y) ∈ R × R^+∗, y = e^x ⇔ x = ln(y)

Valeurs particulières

(−1)² = 1 ; √(0) = 0 ; √(1) = 1 ; ln(e) = 1

Changement de signe

∀ (a, b) ∈ R², (−1) × a = −a ; −(a + b) = −a − b ; −(a − b) = −a + b

Identités remarquables

∀ (a, b) ∈ R², (a + b)² = a² + b² + 2ab ; (a + b)(a − b) = a² − b²

Fractions

∀ (a, b, c, d) ∈ R² × (R^∗)²,
a/c) + b/c) = a + b/c) ; a/c) + b/d) = ad + bc/cd) ; −a/c) = −a/c) = a/−c) ;
a/c) × b/d) = ab/cd) ;
a × b/c) = ab/c) ;
(a/c)/d = a/cd) mais a/(c/d) = ad/c)

Puissances

∀ (a, b) ∈ R², ∀ (n, p) ∈ N², a⁰ = 1 ; a¹ = a ; a^n+p = aⁿ × a^p ; (aⁿ)^p = a^n×p ; (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ ;
si b ≠ 0, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
∀ a ∈ R^∗, ∀ (n, p) ∈ Z²,
a^n−p = aⁿ/a^p ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Racine carrée

∀ (a, b) ∈ (R⁺)², ∀ n ∈ N, √(ab) = √(a) × √(b) ; √(aⁿ) = (√a)ⁿ ;
si b ≠ 0, √(a / b) = √(a)/√(b)

Exponentielle

∀ (x, y) ∈ R², ∀ n ∈ N, e^x+y = e^x e^y ;
(e^x)ⁿ = e^nx ;
e^−x = 1/e^x) ;
e^x−y = e^x/e^y)

Logarithme

∀ (x, y) ∈ (R^+∗)², ∀ n ∈ N, ln(xy) = ln(x) + ln(y) ;
ln(xⁿ) = n ln(x) ;
ln(1/x) = − ln(x) ;
ln(x/y) = ln(x) − ln(y)

Relation d’ordre total

Réflexivité : ∀ a ∈ R, a ≤ a
Antisymétrie : ∀ (a, b) ∈ R², a ≤ b et b ≤ a ⇒ a = b
Transitivité : ∀ (a, b, c) ∈ R³, a ≤ b et b ≤ c ⇒ a ≤ c
Totalité : ∀ (a, b) ∈ R², a ≤ b ou b ≤ a

Règles de compatibilité

∀ (a, b, c) ∈ R³, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c
∀ (a, b) ∈ R², a ≥ 0 et b ≥ 0 ⇒ a × b ≥ 0

Addition des inégalités

∀ (a, b, c, d) ∈ R⁴, a≤b et c≤d ⇒ a+c ≤ b+d ; a<b et c≤d ⇒ a+c < b+d

Multiplication des inégalités

∀ (a, b, c) ∈ R² × R^∗, a ≤ b ⇒ ac ≤ bc et a/c ≤ b/c ; a < b ⇒ ac < bc et a/c < b/c
∀ (a, b, c, d) ∈ (R⁺)⁴, a ≤ b et c ≤ d ⇒ ac ≤ bd

Règle des signes

Transformation des inégalités

∀ (a, b) ∈ R², −a ≥ −b ⇔ a ≤ b ⇔ e^a ≤ e^b
∀ (a, b) ∈ (R⁺)², a ≤ b ⇔ a² ≤ b² ⇔ √(a) ≤ √(b)
∀ (a, b) ∈ (R^+∗)², 1/a ≥ 1/b ⇔ a ≤ b ⇔ ln(a) ≤ ln(b)

Intervalles

∀ (a, b) ∈ R² tel que a < b, [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} ; ]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b} ; [a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b} ; ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} ; [a, +∞[ = {x ∈ R : a ≤ x} ; ]a, +∞[ = {x ∈ R : a < x} ; ]−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} ; ]−∞, b[ = {x ∈ R : x < b} ; ]−∞, +∞[ = R