Mémo des nombres

Nombres entiers

Caractérisation de l’ordre strict

∀ (a, b) ∈ N², a > b ⇔ a ≥ b + 1

Multiple et diviseur

∀ (a, b) ∈ N², b ∣ a ⇔ b divise a ⇔ a multiple de b ⇔ ∃ k ∈ N : a = k × b

Division euclidienne

∀ (a, b) ∈ N × N^∗, ∃! (q, r) ∈ N² : a = b × q + r et r < b

Parité des entiers

∀ a ∈ N, a pair ⇔ ∃ k ∈ N : a = 2k ; a impair ⇔ ∃ k ∈ N : a = 2k+1

Nombre premier

∀ a ∈ N, a premier ⇔ a>1 et ∀ 1<k<a, k∤a

Critère de primalité

Soit a ≥ 2 entier non premier.
∃ p premier : p∣a et p² ≤ a

Théorème fondamental de l’arithmétique

∀ a ∈ N : a ≥ 2, ∃!p₁<…<p_n premiers, k₁,…,k_n ∈ N : a = p₁^k₁ × ⋯ × p_n^k_n

Nombres triangulaires

∀ n ∈ N, ∑_k=0ⁿ k = n (n + 1)/2)

Somme des carrés

∀ n ∈ N, ∑_k=0ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6)

Somme des cubes

∀ n ∈ N, ∑_k=0ⁿ k³ = (n(n+1)/2)²

Relation de récurrence de la factorielle

∀ n ∈ N, (n + 1)! = n! × (n + 1)

Expression des coefficients binomiaux

∀ n ∈ N, ∀ k ∈ ⟦0, n⟧, (k parmi n) = n!/k! (n − k)!)

Formule de Pascal

∀ n ∈ N^∗, ∀ k ∈ ⟦1, n⟧, (k parmi n) = (k−1 parmi n−1) + (k parmi n−1)

Relation diagonale entre les coefficients binomiaux

∀ n ∈ N^∗, ∀ k ∈ ⟦1, n⟧, k(k parmi n) = n(k−1 parmi n−1)

Identité de Vandermonde

∀ (m, n, r) ∈ N³, ∑_k=0^r (k parmi m) (r−k parmi n) = (r parmi m+n)

Symboles somme et produit

Relations de Chasles

Soit (p, q, r) ∈ N³ tel que p≤q<r. Soit (x_i) une familles de termes. ∑_i=p^q x_i + ∑_i=q+1^r x_i = ∑_i=p^r x_i ; ∏_i=p^q x_i × ∏_i=q+1^r x_i = ∏_i=p^r x_i

Réindexation

Soit (p, q, r) ∈ N³ tel que p ≤ q. Soit (x_i) une familles de termes. ∑_i=p^q x_i = ∑_i=p+r^q+r x_i−r ; ∏_i=p^q x_i = ∏_i=p+r^q+r x_i−r

Nombres réels

Linéarité de la somme

Soit λ ∈ R, (x_i), (y_i) familles dans R.
∑_i (λx_i + y_i) = λ∑_i x_i + ∑_i y_i

Multiplicativité du produit

Soit n ∈ N et (x_i), (y_i) familles dans R.

∏_i (x_i × y_i) = ∏_i x_i × ∏_i y_i ;

∏_i (x_i)ⁿ = (∏_i x_i)ⁿ

Somme d’une constante

∀ a ∈ R, ∀ n ∈ N^∗, ∑_k=1ⁿ a = n × a

Somme géométrique

∀ x ∈ R ∖ {1}, ∀ n ∈ N, ∑_k=0ⁿ x^k = 1 − xⁿ⁺¹/1 − x)

Produit d’une constante

∀ a ∈ R, ∀ n ∈ N, ∏_k=1ⁿ a = aⁿ

Axiome d’Archimède

∀ x ∈ R⁺, ∃ n ∈ N : x ≤ n

Inégalité de Bernoulli

∀ x ∈ ]−1, +∞[, ∀ n ∈ N, (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

Maximum et minimum

∀ A ⊂ R, ∀ m ∈ A, m = min(A) ⇔ ∀ x ∈ A, x ≥ m ; m = max(A) ⇔ ∀ x ∈ A, x ≤ m

Bornes supérieure et inférieure

Soit A ⊂ R. Si A non vide majorée, sup(A) est le plus petit majorant de A.
Si A non vide minorée, inf(A) est le plus grand minorant de A

Valeur absolue

∀ x ∈ R, |x| = {x si x ≥ 0 ;−x si x < 0 ;

Racine carrée du carré

∀ x ∈ R, √(x²) = |x|

Inégalité triangulaire

∀ (a, b) ∈ R², |a + b| ≤ |a| + |b|

Inéquation avec valeur absolue

∀ (x, a) ∈ R², |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ; |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a

Exponentiation

∀ a ∈ R^+∗, ∀ x ∈ R, a^x = exp(x ln(a))

Formule du binôme de Newton

∀ (a, b) ∈ R², ∀ n ∈ N, (a + b)ⁿ = ∑_k=0ⁿ (k parmi n) a^k b^n−k

Formule de Bernoulli

∀ (a, b) ∈ R², ∀ n ∈ N, aⁿ−bⁿ = (a−b) × ∑_k=0ⁿ⁻¹ a^k b^n−1−k

Série géométrique

∀ x ∈ ]−1 ; 1[, ∑_k=0^∞ x^k = 1/1 − x)

Série exponentielle

∀ x ∈ R, ∑_k=0^∞ x^k/k!) = e^x

Séries géométriques dérivées

∀ x ∈ ]−1 ; 1[, ∑_k=1^∞ kx^k−1 = 1/(1 − x)²) ; ∑_k=2^∞ k(k − 1) x^k−2 = 2/(1 − x)³)

Trigonométrie

Valeurs remarquables des lignes trigonométriques
`x`	0	π/6	π/4	π/3	π/2
sin(`x`)	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cos(`x`)	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tan(`x`)	0	√3/3	1	√3

Relations trigonométriques

∀ θ ∈ R, cos²(θ) + sin²(θ) = 1 ; sin(−θ) = −sin(θ) ; cos(−θ) = cos(θ) ; tan(−θ) = −tan(θ) ; sin(π/2 − θ) = cos(θ) cos(π/2 − θ) = sin(θ)

Formule de De Moivre

∀ θ ∈ R, ∀ n ∈ N,
(cos(θ) + i sin(θ))ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)

Arc tangente de l’inverse

∀ x ∈ R^+∗, arctan(x) + arctan(1/x) = π/2

Addition des angles

∀ (a, b) ∈ R², cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b ; sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b ; tan(a + b) = tan(a) + tan(b)/1 − tan(a) tan(b))

Duplication de l’angle

∀ a ∈ R, cos(2a) = cos²(a) − sin²(a) ; sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)

Linéarisation

∀ (a, b) ∈ R², cos(a) cos(b) = cos(a+b) + cos(a−b)/2 ; sin(a) sin(b) = cos(a−b) − cos(a+b)/2 ; sin(a) cos(b) = sin(a+b) + sin(a−b)/2

Factorisation

∀ (p, q) ∈ R², cos p + cos q = 2 cosp+q/2 cosp−q/2 ; cos p − cos q = −2 sinp+q/2 sinp−q/2 ; sin p + sin q = 2 sinp+q/2 cosp−q/2

Tangente de l’arc moitié

∀ x ∈ ]−π, π[, en posant t = tan(x/2), sin(x) = 2t/1 + t²) ; tan(x) = 2t/1 − t²) ; cos(x) = 1 − t²/1 + t²)

Nombres complexes

Premières puissances de i

i² = −1 ; i³ = 1/i = −i ; i⁴ = 1

Parties réelle et imaginaire

∀ (a, b) ∈ R², Re(a + ib) = a ; Im(a + ib) = b (sans i !)

Expression du conjugué

∀ (a, b) ∈ R², ¯(a + ib) = a − ib

Solutions d’une équation du second degré à coefficients réels

Soit (a, b, c) ∈ R^∗ × R². En notant Δ = b² − 4ac, l’équation ax² + bx + c = 0 a :

deux solutions réelles −b + √(Δ)/2a et −b − √(Δ)/2a si Δ > 0
une solution réelle −b/2a si Δ = 0
deux solutions complexes conjuguées −b + i√(|Δ|)/2a et −b − i√(|Δ|)/2a si Δ < 0.

Expression du module

∀ (a, b) ∈ R², |a + ib| = √(a² + b²)

Argument

∀ (r, θ) ∈ R^+∗ × R, arg(r cos(θ) + i r sin(θ)) = θ (modulo 2π)

Module et argument du produit et du quotient

∀ (z, z′) ∈ (C^∗)², |zz′| = |z| × |z′| ; arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) ; |z/z′| = |z| / |z′| ; arg(z/z′) = arg(z) − arg(z′) ;

Expression de l’exponentielle complexe

∀ θ ∈ R, e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

Notations exponentielles de référence

−1 = e^iπ ; i = e^iπ/2 ; −i = e^−iπ/2 ; 1 + i = √(2) e^iπ/4

Formules d’Euler

∀ θ ∈ R, cos(θ) = e^iθ + e^−iθ/2) ; sin(θ) = e^iθ − e^−iθ/2i)

Formule de De Moivre

∀ θ ∈ R, ∀ n ∈ N, (e^iθ)ⁿ = e^inθ

Racines de l’unité

∀ n ∈ N^∗, ∀ z ∈ C, zⁿ = 1 ⇔ ∃ k ∈ ⟦0, n−1⟧ : z = e^2ikπ/n ; ∑_k=0ⁿ⁻¹ e^2ikπ/n = 0 ; ∏_k=0ⁿ⁻¹ e^2ikπ/n = (−1)ⁿ⁻¹

Nombres entiers

Symboles somme et produit

Nombres réels

Trigonométrie

Nombres complexes

Ensembles de nombres