Soit A et B deux formules, c’est-à-dire des phrases mathématiques comme « 2 + 2 = 4 », « la fonction f est croissante », « x ≤ y » et même « 0 = 1 ». Une formule peut être fausse ! Elle peut aussi contenir des variables.
| Notation (et lecture) | Résultat | Signification |
|---|---|---|
| A et B | conjonction | A et B sont vrais simultanément |
| A ou B | disjonction | au moins l’une des deux formules est vraie |
| A ⇒ B (« A implique B ») | implication | si A est vrai alors B aussi |
| A ⇔ B (« A est équivalent à B ») | équivalence | A est vrai si et seulement si B est vrai |
| ¯(A) (« non A ») | négation | A est faux |
L’implication est le seul de ces 4 connecteurs logiques qui ne soit pas symétrique.
L’implication est vraie quand la prémisse est fausse.
| Dénomination | Notation | Exemple |
|---|---|---|
| implication | A ⇒ B | Si vous avez connu l’an 2000, alors vous avez plus de 18 ans. |
| réciproque | B ⇒ A | Si vous avez plus de 18 ans, alors vous avez connu l’an 2000. |
| contraposée | ¯(B) ⇒ ¯(A) | Si vous avez 18 ans ou moins, alors vous n’avez pas connu l’an 2000. |
Une implication a même valeur de vérité que sa contraposée, mais pas forcément celle de sa réciproque.
| Dénomination | Notation | Exemple |
|---|---|---|
| universel | ∀ x, Px | Tous les élèves sont majeurs. |
| existentiel | ∃ x : Px | Il y a un élève majeur. |
| Dénomination | Notation | Lecture | Représentation | Exemple |
|---|---|---|---|---|
| appartenance | x ∈ E | « x appartient à E » ou « x est élément de E » | Un élève appartient à sa classe. | |
| inclusion | A ⊂ E | « A est inclus dans E » | Le groupe des latinistes est inclus dans la classe. |
Contrairement à une liste, un ensemble n’est pas ordonné et ne peut contenir de répétition. L’ensemble vide ∅ ne contient aucun élément.
Si E est un ensemble, 𝒫(E) est l’ensemble des parties de E.
| Dénomination | Notation | Lecture | Représentation |
|---|---|---|---|
| intersection | A ∩ B | « A inter B » | |
| réunion | A ∪ B | « A union B » | |
| complémentation | A ∖ B | « A privé de B » |
S’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble E, on peut noter E ∖ A = ¯(A).
Le produit cartésien de deux ensembles E et F est l’ensemble E × F contenant les couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F.
Un couple est une liste et peut donc contenir des répétitions. L’ordre des termes est important : (1, 2) ≠ (2, 1).
En particulier, E2 = E × E. Plus généralement, si p est un entier strictement positif, Ep est l’ensemble des listes de p éléments de E.