Mémo intégration de fonction

Intégrale d’une constante
∀ c ∈ R, ∀ (a, b) ∈ R2, ∫ab c dt = (b − a) c
Linéarité de l’intégrale
Soit f et g deux fonctions réelles continues sur un intervalle réel I.
∀ λ ∈ R, ∀ (a, b) ∈ I2, ∫ab (λf(t) + g(t)) dt = λ ∫ab f(t) dt + ∫ab g(t) dt
Relation de Chasles
Soit f fonction réelle continue sur un intervalle I ⊂ R.
∀ (a, b, c) ∈ I3, ∫ab f(t) dt + ∫bc f(t) dt = ∫ac f(t) dt
Positivité
Soit f fonction réelle continue sur un intervalle [a, b].
f ≥ 0 ⇒ ∫ab f(t) dt ≥ 0
Stricte positivité
Soit f fonction réelle continue sur un intervalle [a, b].
f ≥ 0 et f ≠ 0 et a < b ⇒ ∫ab f(t) dt > 0
Monotonie
Soit f et g deux fonctions réelles continues sur un intervalle [a, b].
f ≤ g ⇒ ∫ab f(t) dt ≤ ∫ab f(t) dt
Théorème fondamental de l’analyse
Soit f une fonction continue sur un intervalle I ⊂ R.
Soit a ∈ I. La fonction x ↦ ∫ax f(t) dt est la primitive de f qui s’annule en a.
Calcul d’intégrale à l’aide d’une primitive
Soit f une fonction continue sur un intervalle I ⊂ R admettant une primitive F. Soit (a, b) ∈ I2.
x ↦ ∫ax f(t) dt = F(b) − F(a)
Intégration par parties
Soit f et g deux fonctions réelles continues sur un intervalle réel I, telles que g soit de classe 𝒞1 et F soit une primitive de f.
∀ (a, b, c) ∈ I3, ∫ab f(t) g(t) dt = [F(t) g(t)]ab − ∫ab F(t) g′(t) dt
Changement de variables
Soit f fonction réelle continue sur un intervalle réel  J et φ une fonction de classe 𝒞1 sur un intervalle réel I à valeurs dans J.
∀ (a, b) ∈ I2, ∫φ(a)φ(b) f(t) dt = ∫ab f(φ(u)) φ′(u) du
Primitives usuelles
Soit α ∈ R∖{−1}, b ∈ R∗, k ∈ R.
Fonction Domaine Expression Exemple de primitive
Puissance R si α∈N∗,
R∗+ ou R∗− si α∈Z−,
R∗+ sinon.		 t ↦ tα t ↦ 1/α + 1tα+1
Affine inverse ]−∞, (−b)/(k)[ ou ](−b)/(k), +∞[ t ↦ 1/kt + b t ↦ ln |kt + b|/k
Exponentielle R t ↦ ekt t ↦ 1/kekt
Logarithme R+∗ ln t ↦ t ln(t) − t
Cosinus R cos sin
Sinus R sin − cos
Tangente ]−π/2 ; π/2[ tan − ln cos
R t ↦ 1/1 + t2 arctan
Soit u une fonction dérivable.
Expression Primitive Condition
u′ uα 1/α + 1 uα+1 u ne s'annule pas si α ∉ N,
u strictement positive si α ∉ Z,
u′/u ln |u| u ne s'annule pas
u′ eu eu
Intégrale de l’exponentielle
∫0+∞ e−t dt = 1
Intégrale de Gauss
∫−∞+∞ e−t2/2 dt = √(2π)
Critère de Riemann
t ↦ (1)/(tα) intégrable en 0 ⇔ α < 1
t ↦ (1)/(tα) intégrable en +∞ ⇔ α > 1
Formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral
Soit n ∈ N∗. Soit f une fonction réelle de classe 𝒞n+1 sur un intervalle réel I. Soit a ∈ I.
∀ x ∈ I, f(x) =∑k=0n (f(k)(a))/(k!) (x − a)k +∫ax (f(n+1)(t))/(n!) (t − a)n dt
Limite des sommes de Riemann
Soit f une fonction continue sur [0 ; 1].
limn→+∞ (1)/(n) ∑k=1n f((k)/(n)) = ∫01 f(t) dt