Mémo étude locale

Polynômes

Fonction polynôme
P fonction polynôme non nul de degré d ∈ N ⇔ ∃ (a0, a1, … , ad) ∈ Rd × R∗ : ∀ x ∈ R, P(x) = a0+a1x+a2x2+ ⋯ +adxd
On note alors deg(P) = d,
a0 : coefficient constant,
ad : coefficient dominant
Unicité des coefficients
Deux polynômes sont égaux si et seulement s’ils ont même degré et mêmes coefficients.
Opérations et degré
Soit P et Q deux polynômes non nuls, a ∈ R∗ et k ∈ N.
deg(P + Q) ≤ max(deg(P), deg(Q)) ; deg(P × Q) = deg(P) + deg(Q) ; deg(aP) = deg(P) ; deg(Pk) = k × deg(P)
Racine d’un polynôme
Soit P une fonction polynôme et λ ∈ R.
λ racine de P ⇔ P(λ) = 0 ⇔ ∃ Q polynôme : ∀x ∈ R, P(x) = (x−λ) × Q(x)
Degré et nombre de racines
Un polynôme de degré d a au plus d racines
Polynômes de degré impair
Tout polynôme de degré impair a au moins une racine réelle.
Racine multiple
Soit P une fonction polynôme, λ ∈ R et k ∈ N∗.
λ racine multiple de P à l’ordre k⇔ ∃ Q polynôme : ∀x ∈ R, P(x) = (x−λ)k × Q(x) et Q(λ) ≠ 0 ⇔ P(λ) = P′(λ) = … = P(k−1)(λ) = 0 et P(k)(λ) ≠ 0
Propagation des racines multiples
λ racine de P de multiplicité k ≥ 2 ⇒ λ racine de P′ de multiplicité k−1
Racine de multiplicité impaire
Un polynôme change de signe en une racine si et seulement si sa multiplicité est impaire.
Un polynôme f admet un extremum local en un réel x0 si et seulement si x0 est racine de f′ avec un ordre de multiplicité impair.

Développement limité

Fonction négligeable (« petit o »)
Soit ε une fonction définie au voisinage (à gauche ou à droite) d’un réel a. Soit k ∈ N.
ε(x) = ox→a ((x−a)k) ⇔ limx→a ε(x)/(x − a)k = 0
Comparaison de puissances
∀ k<n ∈ N, (x−a)n = ox→a((x−a)k) et ε(x) = ox→a((x−a)n ) ⇒ ε(x) = ox→a((x−a)k)
Somme de fonctions négligeables
ε1(x) = ox→a(x−a)k et ε2(x) = ox→a(x−a)k ⇒ ε1(x) + ε2(x) = ox→a((x−a)k)
Multiplication d’une fonction négligeable
Soit (k, n) ∈ N2. ε(x) = ox→a(x−a)k ⇒ (x−a)nε(x) =ox→a((x−a)n+k)
Caractérisation de la continuité
f continue en a ⇔ f(x) = f(a) + ox→a (1)
Approximation affine
Soit f une fonction dérivable en un réel a.
f(x) = f(a) + f′(a) × (x − a) + ox→a(x − a)
Définition du développement limité (DL)
f admet un DL à l’ordre n ∈ N en a ⇔ ∃ (c0, c1, … , cn) ∈ Rn+1 : f(x) = c0+c1(x−a)+ … +cn(x−a)n+ox→a((x−a)n)
Unicité du développement limité
Deux DL d’une même fonction en un même réel ont les mêmes coefficients au même degré.
Troncature du développement limité
Soit k ≤ n ∈ N. f(x)=c0+c1(x−a)+…+cn(x−a)n+ox→a((x−a)n) ⇒ f(x)=c0+c1(x−a)+…+ck(x−a)k+ox→a((x−a)k)
Intégration du développement limité
Soit f une fonction dérivable au voisinage (à gauche ou à droite) d’un réel a.
f′(x)=c0+c1(x−a)+…+cn(x−a)n+ox→a((x−a)n) ⇒ f(x) = f(a)+c0(x−a)+c1(x−a)2/2+ … +cn(x−a)n+1/n+1 +ox→a((x−a)n+1)
Formule de Taylor-Young
Soit n ∈ N∗. Soit f une fonction réelle qui soit n fois dérivable en un réel a.
f(x) = ∑k=0n f(k)(a)/k! (x − a)k + ox→a((x−a)n)
Développements de référence
1/1 − x = 1 + x + x2 + ⋯ + xn + ox→0(xn)
ex = 1 + x + x2/2 + ⋯ + xn/n! + ox→0(xn)
ln(1+x) = x − x2/2 + x3/3 − x4/4 +ox→0(x4)
Soit α ∈ R. (1+x)α = 1+αx + α(α−1)/2x2+α(α−1)(α−2)/6x3 +ox→0(x3)
Position de la courbe par rapport à la tangente en 0
Soit f une fonction admettant un développement limité f(x) = a0 + a1x + akxk + ox→0(xk) avec k≥2 et ak≠0.
k pair k impair
ak>0 au dessus passe au dessus
ak<0 en dessous passe en dessous
extremum local ⇔ a1 = 0 et k pair point d’inflexion ⇔ k impair