Mémo analyse de fonction

Soit f une fonction définie sur un ensemble D ⊂ R.

Courbe représentative
𝒞f = {(x, y) ∈ D × R : y = f(x)}
Position relative de deux courbes
Soit g définie aussi surD.
𝒞f au dessus de 𝒞g ⇔ ∀ x ∈ D, f(x) ≥ g(x)
Courbe de la fonction réciproque
Si f est une fonction bijective, la courbe représentative de la fonction réciproque f−1 est l’image de la courbe de f par la symétrie par rapport à la première bissectrice.
Parité
f paire ⇔ ∀ x ∈ D, −x ∈ D et f(−x) = f(x) ⇔ 𝒞f symétrique par rapport à l’axe des ordonnées  ; f impaire ⇔ ∀ x ∈ D, −x ∈ D et f(−x) = − f(x) ⇔ 𝒞f symétrique par rapport à l’origine
Périodicité
Soit T ∈ R+∗. f est T-périodique si et seulement si ∀ x ∈ D, ∀ k ∈ Z, x + kT ∈ D et f(x + kT) = f(x)
Point fixe
Soit x ∈ D.
x point fixe de f ⇔ f(x) = x

Intervalle stable
Soit I un intervalle réel inclus dans D.
I stable par f ⇔ f(I) ⊂ I
Majoration, minoration, bornes
f majorée ⇔ ∃ M : ∀ x ∈ D, f(x) ≤ M ; f majorée ⇔ ∃ m : ∀ x ∈ D, f(x) ≥ m ; f bornée ⇔ f majorée et minorée
Caractérisation des fonctions bornées
f bornée ⇔ |f| majorée
Somme et produit de fonctions bornées
La somme et le produit de fonctions bornées sont des fonctions bornées.
Variations
f croissante ⇔ ∀ x ≤ y ∈ D, f(x) ≤ f(y) ; f strictement croissante ⇔ ∀ x<y ∈ D, f(x)<f(y) ; f décroissante ⇔ ∀ x ≤ y ∈ D, f(x) ≥ f(y) ; f strictement décroissante ⇔ ∀ x<y ∈ D, f(x)>f(y) ; f monotone ⇔ f croissante ou f décroissante
Composée de fonctions monotones
La composée de deux fonctions monotones de même sens de variation est croissante.
La composée de deux fonctions monotones de sens de variation opposé est décroissante.

Limites

Voisinage
Soit V ⊂ R. Soit a ∈ R.
V voisinage à gauche de a ⇔ ∃ b < a : ]b, a[ ⊂ V V voisinage à droite de a ⇔ ∃ b > a : ]a, b[ ⊂ V V voisinage de a ⇔ V voisinage à gauche et à droite V voisinage de +∞ ⇔ ∃ b ∈ R : ]b, +∞[ ⊂ V V voisinage de −∞ ⇔ ∃ b ∈ R : ]−∞, b[ ⊂ V
Définition de la limite
Soit f une fonction réelle définie sur un ensemble D ⊂ R. Soit a ∈ R tel que D soit un voisinage (à gauche ou à droite) de a. Soit L ∈ R.
limx→a f(x) = L limx→ax<a f(x) = L limx→ax>a f(x) = L
⇔ ∀ V voisinage de L, ∃ U voisinage de a

à gauche à droite
: f(U ∩ D) ⊂ V
Unicité de la limite
limx→a f(x) = L ∈ R et limx→a f(x) = L′ ∈ R ⇒ L = L′.
Opérations sur les limites
Limite de la somme
lima f L ∈ R +∞ −∞
lima g L′ ∈ R +∞ −∞ +∞ −∞
limx→a (f(x) + g(x)) L + L′ +∞ −∞ +∞ −∞
Limite du produit
lima f L ∈ R L ∈ R∗ ±∞
lima g L′ ∈ R ±∞ ±∞
limx→a (f(x) × g(x)) LL′ ±∞ avec règle des signes
Limite de l’inverse
lima f L ∈ R∗ ±∞ 0 avec signe constant
limx→a 1/f(x) 1/L 0 ±∞ avec règle des signes
Formes indéterminées
+∞ + −∞ ; 0 × ∞ ; 0/0 ; ∞/∞ ; 00 ; 1∞ ; (+∞)0
Limite d’une composée
limx→af(x)=b ∈ R et limx→bg(x)=L ∈ R ⇒ limx→ag(f(x))=L.
Théorème d’encadrement
Soient f, g, h trois fonctions définies sur un voisinage U (à gauche ou à droite) de a ∈ R. Soit L ∈ R.
Si pour tout x ∈ U, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si limx→af(x) = L = limx→ah(x) alors limx→ag(x) = L.
Théorème de comparaison
Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage U (à gauche ou à droite) de a ∈ R avec ∀x∈U, f(x)≤g(x).
Si limx→af(x) = +∞ alors limx→ag(x) = +∞.
Si limx→ag(x) = −∞ alors limx→af(x) = −∞.
Comparaison de croissance
Soit a ∈ R+∗ et b ∈ R.
limx→0 xa |ln(x)|b = 0 ; limx→+∞ xa |ln(x)|b = +∞ ; limx→+∞ xa ex = +∞ ; limx→−∞ |x|a ex = 0
Limite d’une fonction monotone
Toute fonction monotone sur un intervalle admet des limites aux bornes.
Limite d’une fonction polynôme
Les limites à l’infini d’une fonction polynôme sont les limites de son monôme dominant.
Asymptotes
verticale d’équation x = a : limx→a f(x) = ±∞
horizontale d’équation y = b : limx→±∞ f(x) = b
oblique d’équation y=ax+b : limx→±∞f(x)−(ax+b) = 0

Continuité

Soit f une fonction définie sur un intervalle I ⊂ R.

Définition de la continuité
Soit a ∈ I.
f continue en a ⇔ ∀ ε > 0, ∃ η > 0 : ∀ x ∈ I ∩ ]a−η, a+η[, |f(x)−f(a)| < ε
Caractérisation de la continuité par les limites
f continue sur I ⇔ ∀ a ∈ I, limx→a f(x) = f(a)

Dérivation

Nombre dérivé
Soit f une fonction définie au voisinage (à gauche ou à droite) d’un réel a. Si ces limites existent,
f′(a) = limx→a f(x) − f(a)/x − a = limh→0 f(a + h) − f(a)/h (f est dérivable en a) ;
fg′(a) = f′(a−) = limh→0h<0 f(a + h) − f(a)/h (à gauche) ; fd′(a) = f′(a+) = limh→0h>0 f(a + h) − f(a)/h (à droite).
Équation de la tangente
Soit f une fonction dérivable en un réel a. La courbe représentative de f admet une tangente au point d’abscisse a, d’équation y = f′(a) (x − a) + f(a).
Opérations sous la dérivée
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même ensemble D. Soit k ∈ R.
(u + v)′ = u′ + v′ ; (ku)′ = ku′ ; (u × v)′ = u′v + uv′ ; (uk)′ = k u′ × uk−1 ; (eu)′ = u′ × eu.
Si v ne s’annule pas,
(1/v)′ = −v′/v2 ; (u/v)′ = u′v − uv′/v2.
Si u > 0, (√u)′ = u′/2√u ; (ln u)′ = u′/u.
Dérivée d’une composée
Soit u une fonction dérivable sur un ensemble D et g une fonction dérivable sur u(D).
(g ∘ u)′ = u′ × (g′ ∘ u)
Dérivée de la réciproque
Soit f une fonction dérivable dont la dérivée ne s’annule pas sur un intervalle I. Elle définit une bijection de I sur f(I) et sa réciproque est dérivable avec (f−1)′ = 1/f′ ∘ f−1
Intégrale dépendant de ses bornes
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient u et v deux fonctions dérivables sur le même intervalle J à valeurs dans I. La fonction G : x ↦ ∫u(x)v(x) f(t) dt est dérivable sur J et pour tout x ∈ J, G′(x) = v′(x) f(v(x)) − u′(x) f(u(x))
Point critique et point d’inflexion
Soit f une fonction dérivable en un réel a.
a point critique ⇔ f′(a) = 0
a point d’inflexion pour f ⇔ f′ admet un extremum en a
Classes de continuité
∀k ∈ N, f de classe 𝒞k sur un intervalle I ⇔ f dérivable k fois avec une dérivée k-ième f(k) continue
Formule de Leibniz
Soient f et g deux fonctions n fois dérivables.
(f × g)(n) = ∑k=0n (kn) f(k) g(n−k)

Théorèmes d’analyse

Combinaison de fonctions continues
La somme, le produit et la composée de fonctions continues sont des fonctions continues.
Lien entre continuité et dérivabilité
f dérivable en a ⇒ f continue en a
Théorème des valeurs intermédiaires
Toute fonction continue sur un segment atteint toute valeur comprise entre ses valeurs aux bornes.
Extension du théorème des valeurs intermédiaires
Toute fonction continue sur un intervalle atteint toute valeur strictement comprise entre ses éventuelles limites aux bornes.
Corolaire du théorème des valeurs intermédiaires
Toute valeur strictement comprise entre deux valeurs ou limites aux bornes d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle admet un unique antécédent dans cet intervalle.
Théorème de la bijection
Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est bijective sur son intervalle image. Sa réciproque est continue et strictement monotone avec le même sens de variation.
Théorème des bornes
Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
Image d’un segment
L’image d’un intervalle fermé borné par une fonction continue est un intervalle fermé borné.
Condition au minimum
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et atteignant son minimum en un réel a ∈ I, tel que f soit dérivable en un réel a.
Si a = inf(I) alors f(a+) ≥ 0 ;
si a = sup(I) alors f(a−) ≤ 0,
sinon f(a) = 0.

Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle [a, b].

Théorème de Rolle
Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et si f(a) = f(b) alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f′(c) = 0.
Théorème des accroissements finis
Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f′(c) = f(b) − f(a)/b − a.
Inégalités des accroissements finis
Soit (m, M) ∈ R2. Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et si pour tout x ∈ ]a, b[ on a m ≤ f′(x) ≤ M alors m(b − a) ≤ f(b) − f(a) ≤ M(b − a).
Signe de la dérivée
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
f′ ≥ 0 ⇒ f croissante ; f′ > 0 ⇒ f strictement croissante ; f′ ≤ 0 ⇒ f décroissante ; f′ < 0 ⇒ f strictement décroissante