Exercices d'intégration de fonction

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Recherche de primitives

Exercice
Donner l'expression d'une primitive pour chacune des fonctions suivantes.
Exercice
Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x ∈ R \ {−1} on ait 3x + 2/(x + 1)2 = a/x + 1 + b/(x + 1)2. En déduire une primitive de x ↦ 3x + 2/(x + 1)2.
Exercice
Déterminer une primitive de cos3.
On pourra par exemple utiliser les formules d'Euler ou la formule cos2 + sin2 = 1.

Calcul d’intégrales

Exercice
Calculer les intégrales
Exercice
Calculer l'aire du domaine du plan situé sous la courbe de la fonction f : x ↦ 1 / 1 + x2, au dessus de l'axe des abscisses, à droite de l'axe des ordonnées et à gauche de la droite d'équation x = 1.
ENS 2015 exercice 1 question 5
Exercice
Ecricome 2011 question 3
Soit λ ∈ R∗+. Pour tout x ∈ R+, calculer ∫0x λ2t e−λt dt.
Exercice
Ecricome 2001 problème 1 question 3b
Pour tout n ∈ N∗, calculer l'intégrale ∫0n t2/n e−t dt et en déduire la limite de la suite (In).
Exercice
Ecricome 2001 problème 1 question 4a
Pour tout (n, k) ∈ (N∗)2, calculer l'intégrale ∫0n (1 − t/n)k dt.
Exercice
On note I = ∫0π ex sin(x) dx. À l'aide d'une double intégration par parties, montrer qu'on a I = eπ + 1 − I et en déduire la valeur de I.
Exercice
Pour tout r ∈ [1 ; +∞[, calculer l'intégrale Ir = ∫0r−2/3 exp(−rx) dx.
Exercice
ENS 2019 planche 4 exercice 1 question 5
Soit a, b ∈ ]0, 1[. Calculer ∫01 (2a + b)/(a + b) da.
Exercice
Déterminer trois constantes réelles a, b, c telles que pour tout x ∈ R \ {1 ; 3}, 1/x2(x + 3) = ax + b/x2 + c/x + 3 .
En déduire le calcul de ∫12 dx/x2(x + 3)
Exercice
Pour tout x ∈ R, calculer l’intégrale F(x) = ∫0x dt/et + e−t à l’aide du changement de variable t = ln(v).
Exercice
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b et g ∈ 𝓒2([a, b], R). Démontrer la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral : g(b) = g(a) + (b − a) g′(a) + ∫ab (b − t) g″(t) dt.

Calcul de primitives

Exercice
Déterminer une primitive pour Arctan.
Exercice
Soit n ∈ N. Déterminer une primitive de la fonction x ↦ xn ln(x).
Exercice
Montrer que pour tout polynôme P, pour tout λ ∈ R∗, la fonction x ↦ P(x) eλx admet une primitive de la forme x ↦ Q(x) eλx où Q est un polynôme de même degré. (On pourra procéder par récurrence et utiliser une intégration par parties.)

Fonction définie par une intégrale

Exercice
Déterminer la dérivée des fonctions suivantes et un encadrement de leurs valeurs :
Exercice
HEC 2019 exercice 2 question 2
Montrer que pour tout x ∈ ]0 ; 1[, pour tout entier N ⩾ 2, ∑k=1N xk/k = ∫0x dt/(1 − t) − ∫0x tN/(1 − t)dt.
Exercice
Ecricome 2011 problème 1.2 question 3
Soit F une fonction définie sur R+ à valeurs dans [0 ; 1[ et de dérivée F′ = f avec F(0) = 0. On pose pour tout x ∈ R+, φ(x) = f(x)/1 − F(x).

Montrer que pour tout x ∈ R+ on a F(x) = 1 − exp(−∫0x φ(t) dt).

Exercice
On pose pour tout x ∈ R, F(x) = (∫0x exp(−t2/2) dt)2.
  1. Montrer que la fonction F est dérivable et exprimer sa dérivée.
  2. Montrer que pour tout x ∈ R on a F′(x) = 2x∫01 exp(−x2(1 + u2)/2) du.
Exercice
Soit f une fonction réelle définie et continue sur R. Pour tout t ∈ [0 ; 1] on note g(t) = ∫0t f(x) dx − t ∫01 f(x) dx sur [0 ; 1[. Montrer que la fonction g est dérivable puis montrer que pour tout t ∈ [0 ; 1], |g(t)| ≤ ∫01 |f′(x)| dx.
Exercice : équation fonctionnelle intégrale
ENS 2019 planche 13 exercice 1

Déterminer l’ensemble des fonctions f : R → R dérivables telles que pour tout (x, y) ∈ R2, ∫xy f(t) dt = (y − x)/2(f(x) + f(y)).

Exercice
BCE 2020 exercice 1 question 5
Soit x ∈ [0, 2]. Calculer ∫max(0, x−1)min(1, x) (1/(1 + t) + 1/(1 + x − t)) dt

Sommes de Riemann

Exercice
Calculer la limite de chacune des suites ( ∑k=1n n / (k + n)2), ( ∑k=1n n / k2 + n2) et (1 / √n∑k=1n 1 / √k + √n).

Problèmes

Problème
ENS 2019 problème C, 2e partie

On pose pour tout N ≥ 1 et x > 0, IN(x) = ∫0N (1 − t/N)N tx−1 du .

  1. Montrer que pour tout N ≥ 1 et x > 0, IN(x) = Nx ∫01 (1 − u)N ux−1 du .
  2. Calculer I1(x) pour tout x > 0.
  3. Montrer que pour tout N ≥ 1, pour tout x > 0, IN(x) = (Nx N!)/(x(x + 1)⋯(x + N)).
Problème : Puissances du logaritme
On considère la suite réelle définie pour tout entier naturel n, In = ∫1e (ln(x))n dx .
  1. Calculer les valeurs de I0 et I1.
  2. À l'aide d'une intégration par parties, déterminer une relation de récurrence sur la suite (In).
  3. Déterminer le signe et les variations de la suite (In).
  4. En déduire que la suite (In) converge et préciser sa limite.
Problème : Intégrales de Wallis
ENS 2014 planche 4 exercice 2
Pour tout n ∈ N on note wn = ∫0π/2 sinn(x) dx.
  1. Calculer w0 et w1.
  2. Déterminer les variations de la suite w et montrer qu'elle converge et ne s'annule jamais.
  3. Montrer que pour tout n ∈ N on a wn+2 = n+1/n+2 wn.
Problème
ENS 2019 planche 11 exercice 1
Le but de cet exercice est de trouver toutes les fonctions dérivables f : [0, 1] → R+∗ telles que f(1)/f(1) = e et ∫01 dx/f(x)2 + ∫01 f′(x)2 dx ≤ 2.

Soit f une telle fonction.

  1. Montrer que ∫01 (f′(x) − dx/f(x))2 dx = 0.
  2. Montrer que f′(x) f(x) = 1 pour tout x ∈ [0, 1].
  3. En déduire une expression simple de f.
Problème
ENS 2015 planche 10 exercice 2
Pour tout entier n ≥ 1, on note In = ∫01 x2n/1 + xn et Jn = ∫01 x2n−1/1 + xn.
  1. Déterminer la limite de la suite (In).
  2. Calculer Jn pour tout entier n ≥ 1. (On pourra utiliser un changement de variable.)
  3. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, on a |In − Jn| ≤ 1/2n(n+1).

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