Énoncés
Déterminer le domaine et l'intégrabilité des fonctions définies par les expressions suivantes, en calculant leur intégrale si elle converge :
-
x exp(−x2)
-
x2 exp(−|x|)
- exp(−√(x))
- (1)/(x ln(x))
-
x2 exp(−x2)
- 1/(1 + x2)
-
x ↦ x/√(1 + x2)
Ecricome 2011
Montrer que l’intégrale suivante converge et calculer sa valeur
∫01
x + (1 − x) × ln(1 − x) dx
Déterminer l’intégrabilité des fonctions suivantes aux bornes de leur domaine de définition.
-
x ↦ e1/x
- ln2(x)
- 1/√(x3 − 1)
- ((ex)2)/(e(x2))
-
x ↦ ln(x)− ln(x)
- Montrer que l’intégrale ∫1+∞ (dx)/(x2 + x) converge.
- Déterminer deux réels a
et b tels que pour tout x ∈ [1 ; +∞[ on ait (1)/(x2 + x)
= (a)/(x)
+ (b)/(x + 1).
- En déduire la valeur de l’intégrale.
ENS 2017 exercice questions 2 et 3
- Montrer que pour tout entier n ≥ 1 l’intégrale
∫0n ln(x) dx converge et vaut n ln(n/e).
- Montrer que pour tout entier i ≥ 1,
∫i−1i ln(x) dx ≤ ln(i).
- En déduire que pour tout entier n ≥ 1
on a n ln(n/e) ≤ ln(n!).
Ecricome 2011 problème 1.2 question 4.a
Soit
(α, β) ∈ (R∗+)2.
Montrer que l'intégrale
∫0+∞
(dx)/((1 + βx)α+1) converge et calculer sa valeur.
ENS 2016 problème question 14
Montrer que pour tout
k ∈ N on a
∫0+∞
tke−t dt
= k!.
ENS 2017 planche 3 exercice 1
On définit pour tout entier
n ≥ 1,
In
= ∫0∞ (dt)/((1 + t2)n).
- Pour tout n ≥ 1, justifier que In est bien définie et montrer que
In
= 2n(In − In+1).
- Calculer I1 et montrer que pour tout n ≥ 2 on a
In
= I1 ∏k=1n−1
(1 − (1)/(2k)).
- Pour tout n ≥ 1, justifier que l’application
fn : t ↦
∑k=1n
(1)/((1 + t2)k)
est intégrable sur R+
et que ∫0∞
fn(t) dt
= 2nIn+1.
- Étudier la convergence de la suite (∫0∞
fn(t) dt).
ENS 2017 planche 2 exercice 2 question 1
Soit
x > 0. Montrer que l’intégrale
∫x∞ exp(−(y2)/(2)) dy converge et que
∫x∞ exp(−(y2)/(2)) dy
≤ (1)/(x) exp(−(x2)/(2)).
ENS 2019 planche 4 exercice 1 question 6
Calculer
∫01 b ln(b/(b + 1)) db.
ENS 2017 planche 6 exercice 1 question 2
Montrer que l’intégrale
∫0∞ (1 − (1 − e−u)n)du converge.
Démontrer que l'intégrale
ENS 2013 exercice 2 questions 2 et 6
∫01
(exp(−rx))/(√(1 − x)) dx
converge pour tout
r ≥ 1,
puis déterminer une constante
c ∈ R
telle que pour tout
r ≥ 1 on ait
∫r−2/31
(exp(−rx))/(√(1 − x)) dx
≤ cexp(−r1/3).
Exercice : fonction Gamma
ENS 2019 problème C, 3e partie
Soit
x > 0. Montrer que la fonction
t ↦ e−ttx−1 est intégrable sur
]0, +∞[. On note alors
Γ(x) = ∫0+∞e−ttx−1
avec une intégrale strictement positive.