Exercices sur les espaces vectoriels

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Cours sur les espaces vectoriels

Énoncés

Exercice
Déterminer si les ensembles suivants constituent des espaces vectoriels pour les opérations usuelles :
Exercice
ENS 2008 exercice I question 2
Soit E un espace vectoriel de dimension 1. Montrer que tout endomorphisme de E est de la forme λidE avec λ ∈ R.
Exercice
ENS 2008 exercice I
Soit E un espace vectoriel et u ∈ L(E) tel que u2 = −idE. Soit x ∈ E ∖ {0}.
  1. Montrer que la famille (x, u(x)) est libre.
  2. Si dim(E) = 2, montrer que cette famille est une base et représenter u dans cette base.
  3. Si dim(E) > 2, montrer qu’il existe aussi y ∈ E tel que (x, u(x), y, u(y)) est une famille libre.
  4. En déduire que dim(E) ≠ 3.
Exercice
Ecricome 2007 problème 1.2
Montrer que l'ensemble E des suites réelles satisfaisant pour tout n ∈ N la relation de récurrence un+3 = 2un+2 − 5/4un+1 + 1/4un est un espace vectoriel.
Exercice
ENS 2010 exercice I question 3
Montrer que l'ensemble des fonctions réelles u définies sur D = R \ Z et vérifiant pour tout x ∈ D, u((x)/(2)) + u((x+1)/(2)) = 2u(x) forme un espace vectoriel réel.
Exercice
D’après Ecricome 1998 Problème 2
Soit p ∈ N∗, et (a0, …, ap−1) ∈ Rp tel que a0ap−1 ≠ 0. On note S l'ensemble des suites réelles u satisfaisant l'équation un+p = ap−1un+p−1 + … + a0un pour tout n ∈ N.

Montrer que S est un espace vectoriel et que toute suite de S est entièrement déterminée par la donnée de ses p premiers termes (u0, …, up−1).

Exercice
ENS 2017 problème B question 3
Montrer que l'ensemble E des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 2 est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions continues de R vers R. Montrer que l'intégrale entre 0 et 1 définit une application linéaire de E dans R et calculer son noyau.
Exercice
ENS 2017 problème B question 3
Soit (a0, … , an−1) Rn. L’application qui à tout A ∈ ℳn(R) associe a0In + a1A + ⋯ + an−1An−1 + An est-elle linéaire ?
Exercice
Soit (a, b) ∈ R2. On considère l'ensemble E des suites réelles satisfaisant pour tout n ∈ N la relation de récurrence un+2 = aun+1 + bun.
Montrer que E est un sous-espace vectoriel de RN et que l'application φ : u ↦ (u0, u1) est linéaire de E dans R2.
Déterminer le noyau et l'image de φ.
Exercice
Déterminer le noyau et l'image et leur intersection pour chacune de endomorphismes de R3 dans R3 définies ci-dessous et calculer à chaque fois le carré de l'endomorphisme.
Exercice
ENS 2017 planche 6 exercice 2
Soient f et g deux endomorphismes de Rn tels que f ∘ g = 0.
  1. Montrer que rg(g) ≤ dim(Ker(f)).
  2. Montrer que dim(Ker(f)) + dim(Ker(g)) ≥ n.
Exercice
ENS 2019 planche 3 exercice 2
Soient u, v, w trois endomorphismes de R3 qui vérifient u3 = v3 = w3 = 0.
  1. Supposons que u est différent de l’endomorphisme nul et que u et v commutent, c’est-à-dire u ∘ v = v ∘ u. Montrer que rg(u ∘ v) < rg(u).
    On pourra considérer la restriction de v à un sous-espace vectoriel bien choisi.
  2. On suppose dans cette question que u, v, w commutent deux à deux. Montrer que u ∘ v ∘ w = 0.
Exercice
ENS 2017 planche 7 exercice 1 question 1
Soit u un endomorphisme de Rn tel que u2 = 0.
Donner une relation d’inclusion entre Ker(u) et Im(u) et en déduire rg(u) ≤ n/2.
Exercice
ENS 2016 exercice 2 question 2
Pour tout x = (x1, … , xn) ∈ Rn, on définit l’application ψx : (y1, … , yn) ∈ Rn ↦ ∑i=1n xiyi.
  1. Soit x ∈ Rn. Montrer que l’application ψx est linéaire, calculer son rang et la dimension de son noyau.
  2. Montrer que l’application x ↦ ψx définit un isomorphisme d’espaces vectoriels entre Rn et L(Rn, R).
Exercice
ENS 2019 problème B question 2
Démontrer que l’ensemble 𝒜n(R) = {A ∈ ℳn(R) : AT = −A} est un sous-espace vectoriel de ℳn(R).
Exercice
ENS 2005 problème I question 1
Soit E un espace vectoriel, et (f, g) ∈ L(E)2.
  1. Montrer que l’image de g est stable par f.
  2. Montrer que le noyau de g est stable par f.

Problèmes

Problème
ENS 2017 planche 11 exercice 1 question 2
Soit M ∈ ℳ2(R) telle que M2 = −Id.
  1. Quel est le rang de M ?
  2. Soit x un vecteur non nul de R2 et u l’endomorphisme de R2 canoniquement associé à M.
    Montrer que (x, u(x)) est une base de R2 et donner la matrice de u dans cette base.
  3. Trouver toutes les matrices A ∈ ℳ3(R) telles que A2 = −Id.
Problème
ENS 2016 exercice 2 question 2
Pour tout x = (x1, … , xn) ∈ Rn, on définit l’application ψx : (y1, … , yn) ∈ Rn ↦ ∑i=1n xiyi.
  1. Soit x ∈ Rn. Montrer que l’application ψx est linéaire, calculer son rang et la dimension de son noyau.
  2. Montrer que l’application x ↦ ψx définit un isomorphisme d’espaces vectoriels entre Rn et L(Rn, R).
Problème
ENS 2007 problème partie 2 question 1
Soit u un endomorphisme.
  1. Montrer les inclusions suivantes : Ker u ⊂ Ker u2 et Im u2 ⊂ Im u.
  2. Soit k ∈ N. Montrer que l'égalité Ker uk = Ker uk+1 implique l'égalité Ker uk+1 = Ker uk+2
Problème
Ecricome 2000 exercice 1 question 1
  1. Montrer que l'ensemble P des polynômes pairs et l'ensemble I des polynômes impairs sont deux espaces supplémentaires dans l'espace E des polynômes de degré inférieur ou égal à 4.
  2. Pour tout p ∈ E, on définit le polynôme f(p)(x) = (x2 + 1)p″(x) − x p′(x).
    Montrer que l'application f est un endomorphisme de E qui laisse stables I et P.
  3. Déterminer le noyau de f.
Problème
D'après Ecricome 2010 problème 1
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et u un endomorphisme de E différent de 2IdE et de −3IdE vérifiant la relation R : u2 + u − 6 IdE = 0 (endomorphisme nul).
  1. Montrer que u est un automorphisme de E et exprimer u−1 comme une combinaison linéaire de IdE et u.
  2. Déterminer les valeurs de λ ∈ R pour que l'endomorphisme λIdE satisfasse la condition R.
  3. Dans le cas où u n'est pas colinéaire à l'identité, déterminer les combinaisons linéaires de IdE et u qui sont des projecteurs.
    Les projecteurs trouvés commutent-ils ?
Problème
ENS 2004 problème 1
Soit E un espace vectoriel de dimension n.
  1. Soit φ ∈ L(E, R). Montrer que son noyau est un hyperplan.
  2. Réciproquement, si H est un hyperplan de E, montrer qu’il existe φ ∈ L(E, R) tel que H = Ker(φ).
  3. Soient φ et ψ deux éléments non nuls de L(E, R) tels que Ker(φ) = Ker(ψ).
    1. Montrer qu’il existe v ∈ E tel que φ(v) = 1.
    2. En notant λ = ψ(v), montrer que ψ = λφ.
  4. Soit H un hyperplan de E. Démontrer que DH = {φ ∈ L(E, R) : H ⊂ Ker(φ)} est un sous-espace vectoriel de E et préciser sa dimension.
  5. Soit f une transvection sur E (autre que l’identité), c’est-à-dire un endomorphisme de E tel que le noyau Ker(f − id) (appelé base de la transvection) est un hyperplan de E qui contient Im(f − id) (appelé direction de la transvection).
    1. Montrer qu’il existe φ ∈ L(E, R) tel que Ker(f − id) = Ker(φ).
    2. Montrer qu’il existe v ∈ E tel que φ(v) = 1.
    3. On pose u = f(v) − v. Montrer que u ∈ Ker(f).
    4. Montrer que pour tout x ∈ E on a x − φ(x)·v ∈ Ker(f − id) puis f(x) = x + φ(x)·u.
  6. Réciproquement, montrer que pour tout φ ∈ L(E, R) ∖ {0}, pour tout u ∈ Ker(φ) ∖ {0}, l’application x ↦ x + φ(x)·u définit bien une transvection sur E.
  7. Montrer que toute transvection est un isomorphisme.
  8. Soit f une transvection de base H et de direction D. Montrer que pour tout g ∈ GL(E), la composée g ∘ f ∘ g−1 est aussi une transvection de base g(H) et de direction g(D).
  9. En déduire que les seuls automorphismes de E qui commutent avec toutes les transvections sont les homothéties x ↦ λx.
Problème : Endomorphisme nilpotent et noyaux emboités
ENSAI 2005

Soit E un espace vectoriel de dimension n et φ ∈ L(E) nilpotent, c’est-à-dire tel qu’il existe un entier p ≥ 2 pour lequel φp = 0 mais φp−1 ≠ 0.

  1. Soit x ∈ E tel que φp−1(x) ≠ 0.
    Montrer que la famille (x, φ(x), φ2(x), … , φp−1(x)) est libre.
  2. En déduire p ≤ n.
  3. Montrer la suite d’inclusions {0} ⊂ Ker(φ) ⊂ Ker(φ2) ⊂ ⋯ ⊂ Ker(φp−1) ⊂ Ker(φp) = E.
  4. Montrer que pour tout k ∈ ⟦1, p−1⟧, si Ker(φk−1) = Ker(φk) alors Ker(φk) = Ker(φk+1).
  5. En déduire que la suite (0, dim(Ker(φ)), dim(Ker(φ2)), … , dim(Ker(φp−1)), dim(Ker(φp))) est strictement croissante.
  6. On pose A = (:(0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0) (1 ; 0 ; 0 ; 0 ; −1) (0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0) (0 ; −1 ; 0 ; 0 ; 0) (0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0), représentant un endomorphisme ψ ∈ L(R5).
    1. Déterminer une base pour chacun des noyaux de A, A2 et A3.
    2. L’endomorphisme ψ est-il nilpotent ?
    3. Montrer que Ker(ψ2) et Im(ψ2) sont supplémentaires dans R5.
Problème
ENS 2015 exercice 2
On rappelle la définition de la trace d’une matrice A = (Ai,j)1≤i,j≤n par Trn(A) = ∑i=1n Ai,i.
  1. Justifier que la trace définit une application linéaire de ℳn(R) vers R.
  2. Déterminer le rang de Trn et la dimension de son noyau.
  3. Dans le cas où n = 2, déterminer une base du noyau de Tr2.
  4. Pour tout (i, j) ∈ ⟦1 ; n⟧2, on note Ei,j la matrice élémentaire dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient de la ligne i et la colonne j qui vaut 1.
    Montrer que pour tout (i, j, k, l) ∈ ⟦1 ; n⟧4 tel que j ≠ k, on a Ei,jEk,l = 0.
  5. Soit f ∈ L(ℳn(R), R) tel que pour tout (A, B) ∈ ℳn(R)2 on ait f(AB) = f(BA).
    Montrer que pour tout matrice élémentaire,Ei,j tel que i ≠ j on a f(Ei,j) = 0, puis montrer que f(Ei,i) ne dépend pas de i.
    En déduire qu’il existe x ∈ R tel que pour tout A ∈ ℳn(R) on ait f(A) = x Tr(A).
  6. Soit g ∈ L(ℳn(R), R) une application linéaire. Montrer qu’il existe une matrice B telle que pour tout A ∈ ℳn(R) on ait g(A) = Tr(AB).

Annales

Ecricome 2006 problème I
Endomorphisme sur un espace de polynômes
Ecricome 2007 problème 1.2
Espace des suites satisfaisant la relation de récurrence un+3 = 2un+2 − 5/4un+1 + 1/4un.