Sommes et produits

Famille

Soient I et E deux ensembles. On appelle famille d'éléments de E indexée par I toute partie ℱ de I × E telle que pour tout élément i ∈ I il existe un unique élément u_i ∈ E tel que (i, u_i) ∈ ℱ.

En pratique, lorsque l'ensemble d'indices est un intervalle d’entiers [[1, n]], on note la famille avec la liste de ses valeurs énoncée dans l'ordre croissant des indices (u₁, u₂, … , u_n).

Définition

Une suite est une famille indexée par N ou par N^∗. Une suite finie est une famille indexée par un intervalle d'entiers borné de la forme [[n, p]].

L'ensemble des familles d'éléments de E indexées par I est noté E^I. En particulier, l'ensemble des suites réelles se note R^N.

Symbole somme

Règles de calcul

Soit (p, q) ∈ Z²tel que p ≤ q. Soit (x_p, …, x_q) une famille à valeurs dans un groupe abélien E. On définit ∑_i=p^p x_i = x_p puis pour tout k ∈ [[p + 1, q]], ∑_i=p^k x_i = (∑_i=p^k−1 x_i) + x_k.

Propriété

Pour tout r ∈ Z tel que p < r ≤ q on a ∑_i=p^q x_i = ∑_i=p^r−1 x_i + ∑_i=r^q x_i.

Propriété

Soient (x_p, …, x_q) et (y_p, …, y_q) deux familles à valeurs dans un groupe abélien. On a ∑_i=p^q (x_i + y_i) = ∑_i=p^q x_i + ∑_i=p^q y_i

Propriété

Soit (x_p, …, x_q) une famille à valeurs dans un K-espace vectoriel. Pour tout λ ∈ K, λ∑_i=p^q x_i = ∑_i=p^q λx_i.

Sommes de référence

Somme d'une constante: Pour tout (a, n) ∈ R × N, ∑_k=0ⁿ a = (n + 1) × a.
Nombres triangulaires: Pour tout n ∈ N, ∑_k=0ⁿ k = n(n + 1) / 2.
Somme des puissances: Pour tout (q, n) ∈ (R \ {1}) × N, ∑_k=0ⁿ q^k = (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q).

Cette dernière formule peut apparaitre comme un cas particulier de la propriété suivante.

Différence de puissances (formule de Bernoulli): ∀(a, b, n) ∈ R × R × N*, aⁿ − bⁿ = (a − b) × (∑_k=0ⁿ⁻¹ a^n−1−kb^k)

Propriétés

Pour tout n ∈ N,

∑_k=0ⁿ k² = n(n + 1)(2n + 1) / 6
∑_k=0ⁿ k³ = (n(n + 1)/2)²

Symbole produit

Règles de calcul

De même, si (x_p, …, x_q) est une famille à valeurs dans un corps, on pose ∏_i=p^p x_i = x_p puis pour tout k ∈ [[p + 1, q]], ∏_i=p^k x_i = (∏_i=p^k−1 x_i) × x_k.

Propriété

Pour tout r ∈ Z tel que p < r ≤ q on a ∏_i=p^q x_i = ∏_i=p^r−1 x_i × ∏_i=r^q x_i.

Propriété

Soient (x_p, …, x_q) et (y_p, …, y_q) deux familles à valeurs dans un corps commutatif.
On a ∏_i=p^q (x_i × y_i) = ∏_i=p^q x_i × ∏_i=p^q y_i et si la famille (y_p, …, y_q) ne s'annule pas, ∏_i=p^q x_i/y_i = ∏_i=p^q x_i / ∏_i=p^q y_i.
Enfin, pour tout n ∈ N on a (∏_i=p^q x_i)ⁿ = ∏_i=p^q x_iⁿ.

Produits de référence

Pour tout (a, n) ∈ R × N^∗ on a ∏_k=1ⁿ a = aⁿ.

Définition

On définit la factorielle par 0! = 1 et pour tout n ∈ N^∗, n! = ∏_k=1ⁿ k.

Propriété

Pour tout n ∈ N, (n + 1)! = n! × (n + 1).

Propriété

Pour tout n ∈ N tel que n ≥ 4 on a n! > 2ⁿ.

En particulier, on en déduit que la factorielle ne s'annule jamais.

Propriété

Pour tout n ∈ N^∗, ∏_k=1ⁿ (2k) = 2ⁿ n! et ∏_k=1ⁿ (2k + 1) = (2n + 1)!/2ⁿ n!.

Binôme de Newton

Coefficients binomiaux

Définition

On définit les coefficients binomiaux par récurrence sur n ∈ N avec (00) = 1 et pour tout k ∈ Z*, (k0) = 0, puis pour tout (n, k) ∈ N × Z, (kn+1) = (kn) + (k−1n).
Cette relation est appelée relation du triangle de Pascal.

Premières lignes du triangle de Pascal
1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1

Cette définition s'illustre par la construction de la figure ci-contre, dans lequel chaque terme s'obtient en additionnant les deux termes apparaissant immédiatement au dessus de lui.

Propriétés

Pour tout (n, k) ∈ N × Z, si k < 0 ou k > n alors (k parmi n) = 0.
Pour tout n ∈ N, on a (0 parmi n) = 1 et (1 parmi n) = n.
Pour tout (n, k) ∈ N² avec n ≥ k, on a (k parmi n) = (n−k parmi n).

Expression avec la factorielle: Pour tout (n, k) ∈ N² tel que k ≤ n, on a (k parmi n) = n! / (k! (n − k)!).

Formule

Formule du binôme de Newton: Pour tout (a, b, n) ∈ R² × N, on a (a + b)ⁿ = ∑_k=0ⁿ (k parmi n) a^kb^n−k.

En particulier, on obtient pour tout n ∈ N, 2ⁿ = ∑_k=0ⁿ (k parmi n).