Notations de Landau

Petit « o »

Soit a ∈ ¯(R), soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I au voisinage à gauche ou à droite de a. On dit que f est négligeable par rapport à g au voisinage de a, ou que g est prépondérante par rapport à f, s'il existe une fonction ε définie sur I avec f = ε × g et lim_x→a ε(x) = 0. On note alors f(x) = o_x→a(g(x)) ou f = o_a (g).

Si la fonction g ne s'annule pas au voisinage de a, le fait que f soit négligeable par rapport à g au voisinage de a peut se réécrire lim_x→a f(x)/g(x) = 0.

Le signe égal de ces dernières formules ne représente pas une égalité. En particulier, on a x = o_x→+∞(x²) et x + 1 = o_x→+∞(x²) et pourtant pour tout x ∈ R, x ≠ x + 1.

Pour tout (p, q) ∈ R² tel que p < q on a x^p = o_x→+∞(x^q) et x^q = o_x→0(x^p).
Pour tout p ∈ R^+∗ on a ln(x) = o_x→+∞ (x^p) et ln(x) = o_x→0 (1/x^p).
Pour tout p ∈ R⁺ on a x^p = o_x→+∞(e^x).
Soit P un polynôme réel et a ∈ R une racine double de P. Alors on a P(x) = o_x→a(x −a).

Si a est une racine double de P alors P(a) = P′(a) = 0 donc la formule de Taylor appliquée à P de degré n permet d'écrire P = (X − a)² ∑_k=2ⁿ P^(k)(a)/k! (X − a)^k−2 donc pour tout x ≠ a on a P(x)/x − a = (x − a) ∑_k=2ⁿ P^(k)(a)/k! (x − a)^k−2 avec lim_x→a ∑_k=2ⁿ P^(k)(a)/k! (x − a)^k−2 = P⁽²⁾(a)/2 donc lim_x→a P(x)/x − a = 0.

Additivité: Si f₁(x) = o_x→a(g(x)) et f₂(x) = o_x→a(g(x)) alors f₁(x) + f₂(x) = o_x→a(g(x)).
Transitivité: Si f(x) = o_x→a(g(x)) et g(x) = o_x→a(h(x)) alors f(x) = o_x→a(h(x)).
Multiplication par une fonction bornée: Si f(x) = o_x→a(g(x)) et si u est une fonction bornée au voisinage de a alors u(x) × f(x) = o_x→a(g(x)).
Multiplication par une fonction quelconque: Si f(x) = o_x→a(g(x)) et si u est définie au voisinage de a alors u(x) × f(x) = o_x→a(u(x) × g(x)).

Le produit de deux fonctions négligeables par rapport à une troisième n'est pas forcément négligeable : on a x = o_x→+∞(x³) et x² = o_x→+∞(x³) mais x³ ≠ o_x→+∞(x³).

Soit f une fonction définie au voisinage à gauche ou à droite de a ∈ ¯(R). On a l'équivalence f(x) = o_x→a(1) ⇔ lim_x→a f(x) = 0.

Équivalent

Soit a ∈ R, soit f et g deux fonctions définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a. On dit que f est équivalente à g au voisinage de a si on a g(x) − f(x) = o_x→a(g(x)).
Dans ce cas, on note f(x) ∼_x→a g(x) ou f ∼_a g.

ln(1 + x) ∼_x→0 x
sin(x) ∼_x→0 x
Si P est un polynôme et λ une racine de P d'ordre de multiplicité d alors P(x) ∼_x→λ P^(d)(λ)/d! (x − λ)^d

On utilise les limites des taux d'accroissement :

on a lim_x→0 ln(1 + x) − ln(1)/x − 0) = 1/1 + 0) donc ln(1 + x)/x) ∼_x→0 1,
de même, lim_x→0 sin(x) − sin(0)/x − 0) = sin′(0) = cos(0) = 1 donc sin(x)/x) ∼_x→0 1.

Si la fonction g ne s'annule pas au voisinage de a, le fait que f soit équivalente à g au voisinage de a peut se réécrire lim_x→a f(x)/g(x) = 1.

Réflexivité: pour toute fonction f définie au voisinage de a, f(x) ∼_x→a f(x).
Symétrie: pour toutes fonctions f et g définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a, f(x) ∼_x→a g(x) ⇔ g(x) ∼_x→a f(x).
Transitivité: Pour toutes fonctions f, g et h définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a, si f(x) ∼_x→a g(x) et g(x) ∼_x→a h(x) alors f(x) ∼_x→a h(x).

Soit f une fonction définie au voisinage à gauche ou à droite de a ∈ ¯(R) et soit L ∈ R^∗. On a l'équivalence f(x) ∼_x→a L ⇔ lim_x→a f(x) = L.

Soit f et g deux fonctions définies simultanément au voisinage de a ∈ R telles que f(x) ∼_x→a g(x).

Pour toute fonction u définie au voisinage de a, on a u(x)f(x) ∼_x→a u(x) g(x)
Pour tout n ∈ N, on a fⁿ(x) ∼_x→a gⁿ(x)
Si f et g ne s'annulent pas au voisinage de a, on a 1/f(x) ∼_x→a 1/g(x)
Si u est une fonction définie au voisinage de λ ∈ ¯(R) avec lim_x→λ u(x) = a alors f(u(x)) ∼_x→λ g(u(x)).

Une équivalence est préservée par composition à droite (en remplaçant la variable) mais pas en composant à gauche en général. Par exemple, on a x + 1 ∼_x→+∞ x et pourtant les expressions e^x et e^x+1 ne sont pas équivalentes lorsque x tend vers +∞.
Les équivalences ne sont pas préservées par les additions. Par exemple, x² − x ∼_x→+∞ x² + x et pourtant les expressions (x² − x) − x² et (x² + x) − x² ne sont pas équivalentes lorsque x tend vers +∞.