Devoir non surveillé 2

Endomorphisme sur un espace de polynôme

Soit n un entier naturel non nul. On note E_n = R_n[x] l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On note ℬ = (e₀, e₁, … , e_n) la base canonique associée, vérifiant pour tout i ∈ ⟦0 ; n⟧, e_i(x) = xⁱ.
On introduit les polynômes (H₀, H₁, … , H_n) définis par H₀ = 1 et pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, H_i(x) = x(x − i)ⁱ⁻¹/i!).
Pour tout polynôme P ∈ E_n, on définit la fonction f(P) par (f(P))(x) = xP(x) + (x − 1) ∫₀^x P(t) dt.

1. Vérifier que l'application f est linéaire sur E_n.
2. Pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, calculer une expression de la fonction f(P) lorsque P(x) = xⁱ.
3. Pour tout P ∈ E_n, calculer la dérivée (f(P))′, puis montrer les égalités (f(P))(0) = (f(P))′(0) = 0.
4. Pour tout polynôme P ∈ E_n, justifier que la fonction T(P) : x ↦ (f(P))(x)/x²) est une fonction polynôme.
5. Montrer que l’application T constitue un endomorphisme de E_n.
6. Dans le cas n = 4, représenter l’endomorphisme T dans la base canonique.
7. Pour tout i ∈ ⟦0 ; n⟧, en notant Q_i(x) = H_i(x − 1), montrer que la fonction H_i+1 est une primitive de la fonction Q_i, puis en déduire une expression de T(Q_i).
8. Montrer que pour tout 0 ≤ i ≤ j la dérivée j-ième de H_i s’écrit H_i^(j)(x) = H_i−j(x − j).
9. Pour tout (i, j) ∈ ⟦1, n⟧², calculer H_i^(j)(j).
10. Montrer que la famille (H₀, … , H_n) est une base de E_n.
11. Montrer que pour tout P ∈ E_n on a P = ∑_i=0ⁿ P⁽ⁱ⁾(i) H_i.