Devoir surveillé n^o 2 de mathématiques

Développement asymptotique

On considère la suite (x_n)_n∈N définie par x₀ ∈ ]0 ; 1[ et pour tout n ∈ N, x_n+1 = x_n − x_n².

1. Dresser le tableau de variations de la fonction f : x ↦ x − x² définie sur [0 ; 1] à valeurs dans R.
2. 1. Montrer que la suite (x_n)_n∈N est monotone et convergente.
   2. Déterminer la limite de la suite (x_n)_n∈N.
3. 1. Établir pour tout n ∈ N^∗, l’encadrement 0 < x_n ≤ 1/n+1.
   2. Retrouver ainsi la limite de la suite (x_n)_n∈N
4. Soit (v_n)_n∈N la suite définie pour tout n ∈ N par v_n = nx_n.
   1. Montrer que la suite (v_n)_n∈N est croissante.
   2. En déduire que la suite (v_n)_n∈N converge vers un réel ℓ qu’on ne demande pas de calculer.
   3. Montrer que 0 < ℓ ≤ 1.
5. On considère la suite (w_n)_n∈N définie pour tout n ∈ N par w_n = n (v_n+1 − v_n).
   1. Montrer que la série de terme général w_n/n est convergente.
   2. Exprimer pour tout n ∈ N le terme w_n en fonction de x_n et v_n.
   3. En déduire que la suite (w_n)_n∈N converge vers ℓ (1 − ℓ).
   4. À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que ℓ = 1.
   5. La série de terme général x_n converge-t-elle ?

Fonction de densité affine par morceaux

Soit a ∈ ]0 ; 1[. On pose pour tout t ∈ R, f(t) = 2/a (1 − t/a) si 0 ≤ t ≤ a et f(t) = 0 sinon.

1. Vérifier que f est une fonction de densité. On notera X une variable aléatoire admettant cette fonction de densité.
2. Déterminer la fonction de répartition de X.
3. Calculer l'espérance et la variance de X si elles existent.
4. Déterminer les fonctions de répartition de Z = max(X, a − X), T = min(X, a − X) et Q = T/Z.
5. Justifier que Z et T sont des variables uniformes. Indiquer une fonction de densité pour Q.

Suites d’intégrales

Partie A : constante d’Euler

On considère les suites définies pour tout entier n⩾1 par a_n = 1/n − ∫_nⁿ⁺¹ 1/t dt, S_n = ∑_k=1ⁿ a_k et H_n = ∑_k=1ⁿ 1/k.

1. Justifier que pour tout k⩾1 on a 0 ⩽ a_k ⩽ 1/k − 1/k+1.
2. En déduire que la suite (S_n)_n⩾1 est majorée.
3. Montrer que la suite (S_n)_n⩾1 est convergente et que sa limite γ appartient à [0 ; 1].
4. En déduire la limite de (ln(n) − H_n).

Partie B : intégrale généralisée

Sous réserve de convergence, on pose I₀ = ∫₀¹ ln(t) dt et pour tout entier k ⩾ 1, I_k = ∫₀¹ (1 − t)^k ln(t) dt.

1. Montrer que l’intégrale définissant I₀ converge et préciser sa valeur.
2. Montrer que pour tout entier k ⩾ 1, l’intégrale définissant I_k est convergente.
3. Démontrer la relation de récurrence pour tout k ⩾ 1 : I_k = I_k−1 − ∫₀¹ t(1 − t)^k−1 ln(t) dt.
4. À l’aide d’une intégration par parties dont on justifiera la validité, montrer que l’on a ∫₀¹ t(1 − t)^k−1 ln(t) dt = I_k/k + 1/k(k + 1) .
5. En déduire pour tout n ⩾ 1 l’égalité suivante : (n + 1)I_n = −∑_k=1ⁿ⁺¹ 1/k.
6. Établir que pour tout entier n ⩾ 1 on a 1/n∫₀ⁿ ln(t) (1 − t/n)ⁿ dt = I_n + ln(n)/n + 1.
7. En déduire la limite de la suite de terme général ∫₀ⁿ ln(t) (1 − t/n)ⁿ dt.

Endomorphisme défini avec le produit scalaire

Partie A : un cas particulier

On pose u = (1, 0, 1) et v = (1, 1, −1) et on considère l’application f définie sur R³ par f(x) = 〈x, v〉u + 〈x, u〉v.

1. Vérifier que u et v sont orthogonaux.
2. Calculer ∥u∥ et ∥v∥.
3. Écrire la matrice A représentant l’endomorphisme f dans la base canonique.
4. Déterminer une basede Ker(f).
5. Calculer les images par f de w₁ = √3u + √2v et w₂ = −√3u + √2v.
   En déduire deux valeurs propres distinctes non nulles de f.
6. Justifier que l’endomorphisme f est diagonalisable.

Partie B : cas général

Soient u et v deux vecteurs orthogonaux dans Rⁿ avec n ⩾ 3. On note F le sous-espace vectoriel engendré par u et v et on considère l’application f définie sur Rⁿ par f(x) = 〈x, v〉u + 〈x, u〉v.

1. Montrer que f est un endomorphisme de Rⁿ.
2. Montrer que (u, v) est une base de F.
3. Montrer que Ker(f) = F^⊥.
4. En déduire les dimensions respectives de Ker(f) et Im(f).
5. Montrer que Im(f) = F.
6. Soit w ∈ Rⁿ un vecteur propre de f associé à une valeur propre λ ≠ 0. Montrer w ∈ Im(f).
7. Donner toutes les valeurs propres de f ainsi que la dimension des sous-espaces propres associés.
8. Justifier que f est diagonalisable.

Variables aléatoires avec une loi conditionnelle

Soit (X_n)_n∈N^∗ une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω, 𝒜, P), indépendantes et suivant toutes la loi géométrique de paramètre p ∈ ]0 ; 1[. On pose q = 1 − p.

Soit N une variable aléatoire à valeurs dans N^∗, indépendante des variables aléatoires X_n.

Pour tout ω ∈ Ω, on pose Y(ω) = ∑_i=1^N(ω) X_i et on admet que Y est une variable aléatoire définie sur (Ω, 𝒜, P).

Pour tout n ∈ N^∗, on pose S_n = ∑_i=1ⁿ X_i.

On pourra utiliser sans justification la formule suivante : pour tout (r, s) N² avec r ≤ s, on a ∑_j=r^s (r parmi j) = (r+1 parmi s+1).

1. Montrer que la loi de S₂ est donnée par S₂(Ω) = N ∖ {0 ; 1} et pour tout k ≥ 2, P(S₂ = k) = (k − 1) p² q^k−2.
2. Déterminer pour tout entier n ≥ 2, la loi de X₁ conditionnellement à l’évènement {S₂ = n}.
3. 1. Déterminer S_n(Ω).
   2. En utilisant la formule de l’énoncé et à l’aide d’une relation de récurrence sur n, montrer que pour tout k ∈ S_n(Ω), P(S_n = k) = (n−1 parmi k−1) pⁿ q^k−n.
4. 1. En utilisant le fait que S_n−1 est une variable aléatoire, établir l’égalité ∑_k=n^+∞ (n−2 parmi k−2) q^k−n = 1/pⁿ⁻¹).
   2. Vérifier que pour tout entier n ≥ 2 et pour tout entier k ≥ n, on a n − 1/k − 1) (n−1 parmi k−1) = (n−2 parmi k−2) .
   3. Soit R_n la variable aléatoire définie par R_n = n − 1/S_n − 1). Montrer que l’espérance de R_n est égale à p.
5. 1. Déterminer Y(Ω).
   2. Pour tout couple (k, n) ∈ (N^∗)², montrer que P({Y = k} ∩ {N = n}) = P(S_n = k) × P(N = n).
   3. Pour tout couple (k, n) ∈ (N^∗)² tel que k < n, donner la valeur de P({Y = k} ∩ {N = n}).
   4. Déduire des questions précédentes que pour tout k ∈ N^∗, P(Y = k) = ∑_n=1^k P(S_n = k) × P(N = n).
6. On suppose dans cette question que N suit la loi géométrique de paramètre p. Montrer que Y suit la loi géométrique de paramètre p².
7. On suppose réciproquement que Y suit la loi géométrique de paramètre p². Montrer que P(N = 1) = p.