Concours blanc n^o 2

Développement asymptotique

On considère la suite (x_n)_n∈N définie par x₀ ∈ ]0 ; 1[ et pour tout n ∈ N, x_n+1 = x_n − x_n².

Partie 1

1. Dresser le tableau de variations de la fonction f : x ↦ x − x² définie sur [0 ; 1] à valeurs dans R.
2. 1. Montrer que la suite (x_n)_n∈N est monotone et convergente.
   2. Déterminer la limite de la suite (x_n)_n∈N.
3. 1. Établir pour tout n ∈ N^∗, l’encadrement 0 < x_n ≤ 1/n+1.
   2. Retrouver ainsi la limite de la suite (x_n)_n∈N
4. Soit (v_n)_n∈N la suite définie pour tout n ∈ N par v_n = nx_n.
   1. Montrer que la suite (v_n)_n∈N est croissante.
   2. En déduire que la suite (v_n)_n∈N converge vers un réel ℓ qu’on ne demande pas de calculer.
   3. Montrer que 0 < ℓ ≤ 1.
5. On considère la suite (w_n)_n∈N définie pour tout n ∈ N par w_n = n (v_n+1 − v_n).
   1. Montrer que la série de terme général w_n/n est convergente.
   2. Exprimer pour tout n ∈ N le terme w_n en fonction de x_n et v_n.
   3. En déduire que la suite (w_n)_n∈N converge vers ℓ (1 − ℓ).
   4. À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que ℓ = 1.
   5. Donner un équivalent simple de x_n quand n tend vers +∞.

Partie 2

1. Soit (u_n)_n∈N^∗ une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général u_n soit divergente.
   Soit (y_n)_n∈N^∗ une suite réelle convergente. On pose L = lim_n→+∞ y_n et pour tout n ∈ N^∗, S_n = ∑_k=1ⁿ u_k.
   1. Établir pour tout entier n₀ ∈ N_∗ et pour tout entier n > n₀, l’inégalité suivante : |1/S_n) (∑_k=1 ⁿ u_k y_k) − L| ≤ 1/S_n) ∑_k=1^n₀ u_k |y_k − L| + 1/S_n) ∑_k=n0+1 ⁿ u_k |y_k − L|.
   2. En déduire que lim_n→+∞ 1/S_n) ∑_k=1 ⁿ u_k y_k = L.
2. Soit (z_n)_n∈N et (t_n)_n∈N deux suites réelles et γ un réel tels que
   • la suite (z_n)_n∈N est strictement croissante et tend vers +∞
   • lim_n→+∞ t_n+1 − t_n/z_n+1 − z_n) = γ.
   On pose pour tout n ∈ N^∗, a_n = z_n − z_n−1 et b_n = t_n − t_n−1/z_n − z_n−1).
   1. Montrer que la suite (a_n)_n∈N^∗ vérifie les propriétés de la suite (u_n)_n∈N^∗
   2. En appliquant le résultat de la question 2.1 aux suites (a_n)_n∈N^∗ et (b_n)_n∈N^∗, montrer que lim_n→+∞ t_n/z_n) = γ.
3. 1. Établir l’équivalent suivant : n(1 − nx_n)/ln(n)) ∼_n→+∞ 1/x_n − n/ln(n)).
   2. Montrer que lim_n→+∞ 1/x_n+1 − 1/x_n − 1/ln(1 + 1/n)) = 1.
   3. En déduire, en utilisant le résultat de la question 2.2 avec t_n = 1/x_n − n et z_n = ln(n), l’existence d’une suite (ε_n)_n≥2 de limite nulle telle que n(1 − nx_n)/ln(n)) = 1 − ε_n.
   4. En déduire finalement le développement asymptotique suivant : x_n = 1/n) − ln(n)/n²) + ln(n)/n²) ε_n.

Multiplication par une matrice diagonalisable

Dans tout l’exercice, n est un entier supérieur ou égal à 2 et A et B sont deux matrices de ℳ_n(R) diagonalisables.

Pour tout M ∈ ℳ_n(R) on note ^tM sa transposée.

On définit trois endomorphismes de ℳ_n(R), en posant pour tout M ∈ ℳ_n(R) par f_A(M) = AM et g_B(M) = MB, puis h_A,B = f_A − g_B.

1. 1. Soit λ une valeur propre de A et X ∈ Rⁿ un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ.
      Montrer que X ^tX est un vecteur propre de f_A et donner la valeur propre associée.
   2. Soit θ une valeur propre de f_A. Montrer que la matrice A − θI_n n’est pas inversible.
   3. Déduire de ce qui précède que Sp(A) = Sp(f_A).
   4. Montrer que Sp(^tB) = Sp(B). En déduire que Sp(B) = Sp(g_B).
2. 1. Soit λ une valeur propre de A et X un vecteur propre associé, μ une valeur propre de ^tB et Y un vecteur propre associé. Montrer que X ^tY est un vecteur propre de h_A,B et donner la valeur propre associée.
   2. Soit β une valeur propre de h_A,B et M un vecteur propre associé.
      Montrer, en utilisant le fait que B est diagonalisable, qu’il existe un vecteur propre V de B associé à une valeur propre μ tel que MV ≠ 0.
      En déduire qu’il existe un scalaire λ ∈ Sp(A) tel que β = λ − μ.
   3. Déduire de ce qui précède que Sp(h_A,B) = {λ − μ, λ ∈ Sp(A), μ ∈ Sp(B)}.
   4. Démontrer l’équivalence suivante : Sp(A) ∩ Sp(B) = ∅ ⇔ h_A,B est injective.
3. Soit (X₁, X₂, … , X_n) une base de Rⁿ et V un vecteur de Rⁿ.
   On note pour tout j ∈ ⟦1 ; n⟧, X_j = [[p_1,j ;]][p_2,j ;]][⋮ ;]][p_n,j ;]] et on pose P = (p_i,j)_1≤i,j≤n ∈ ℳ_n(R) avec V = [[v₁ ;]][v₂ ;]][⋮ ;]][v_n ;]].
   1. Déterminer en fonction des réels p_i,j et v_i, les éléments (l₁, l₂, … , l_n) de la matrice ^tVP.
   2. En déduire qu’il existe une unique famille de vecteurs (V_i) dans Rⁿ telle que pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, ^tV_i X_i = 1 et pour tout (i, j) ∈ ⟦1 ; n⟧² tel que i ≠ j, on ait ^tV_i X_j = 0.
   3. En supposant que la base (X₁, X₂, … , X_n) est constituée de vecteurs propres de A, si (Y₁, Y₂, … , Y_n) est une base constituée de vecteurs propres de B, montrer que la famille (X_i ^tY_j)_1≤i,j≤n constitue une base de ℳ_n(R) et en déduire que h_A,B est diagonalisable.
4. Dans le cas où n = 2, A = [[1 ;2 ;]][4 ;3 ;]] et B = [[1 ;1 ;]][1 ;1 ;]], montrer que ces deux matrices sont diagonalisables et déterminer leurs vecteurs propres, puis en déduire une base de vecteurs propres pour h_A,B en précisant les valeurs propres associées.

Variables aléatoires avec une loi conditionnelle

Soit (X_n)_n∈N^∗ une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω, 𝒜, P), indépendantes et suivant toutes la loi géométrique de paramètre p ∈ ]0 ; 1[. On pose q = 1 − p.

Soit N une variable aléatoire à valeurs dans N^∗, indépendante des variables aléatoires X_n.

Pour tout ω ∈ Ω, on pose Y(ω) = ∑_i=1^N(ω) X_i et on admet que Y est une variable aléatoire définie sur (Ω, 𝒜, P).

Pour tout n ∈ N^∗, on pose S_n = ∑_i=1ⁿ X_i.

On pourra utiliser sans justification la formule suivante : pour tout (r, s) N² avec r ≤ s, on a ∑_j=r^s (r parmi j) = (r+1 parmi s+1).

1. Montrer que la loi de S₂ est donnée par S₂(Ω) = N ∖ {0 ; 1} et pour tout k ≥ 2, P(S₂ = k) = (k − 1) p² q^k−2.
2. Déterminer pour tout entier n ≥ 2, la loi de X₁ conditionnellement à l’évènement {S₂ = n}.
3. 1. Déterminer S_n(Ω).
   2. En utilisant la formule de l’énoncé et à l’aide d’une relation de récurrence sur n, montrer que pour tout k ∈ S_n(Ω), P(S_n = k) = (n−1 parmi k−1) pⁿ q^k−n.
4. 1. En utilisant le fait que S_n−1 est une variable aléatoire, établir l’égalité ∑_k=n^+∞ (n−2 parmi k−2) q^k−n = 1/pⁿ⁻¹).
   2. Vérifier que pour tout entier n ≥ 2 et pour tout entier k ≥ n, on a n − 1/k − 1) (n−1 parmi k−1) = (n−2 parmi k−2) .
   3. Soit R_n la variable aléatoire définie par R_n = n − 1/S_n − 1). Montrer que l’espérance de R_n est égale à p.
5. 1. Déterminer Y(Ω).
   2. Pour tout couple (k, n) ∈ (N^∗)², montrer que P({Y = k} ∩ {N = n}) = P(S_n = k) × P(N = n).
   3. Pour tout couple (k, n) ∈ (N^∗)² tel que k < n, donner la valeur de P({Y = k} ∩ {N = n}).
   4. Déduire des questions précédentes que pour tout k ∈ N^∗, P(Y = k) = ∑_n=1^k P(S_n = k) × P(N = n).
6. On suppose dans cette question que N suit la loi géométrique de paramètre p. Montrer que Y suit la loi géométrique de paramètre p².
7. On suppose réciproquement que Y suit la loi géométrique de paramètre p².
   1. Montrer que P(N = 1) = p.
   2. Montrer également que P(N = 2) = pq.
   3. À l’aide d’une démonstration par récurrence, montrer que N suit la loi géométrique de paramètre p.

Analyse

On considère la fonction g : x ↦ x² e^−x2 définie sur R.

1. Étudier la parité, les variations et les limites de g.
2. Justifier que pour tout x ∈ R⁺ on a g(x) ≤ x.
3. Montrer que g est intégrable sur R⁺ et calculer ∫₀^+∞ g(t) dt. On pourra utiliser un changement de variable u = √(2) t.
4. En déduire qu’il existe a ∈ R tel que la fonction f = a × g soit à densité sur R⁺ et préciser la valeur de a.
5. On considère une variable aléatoire X positive et de densité f sur R⁺. Justifier que X admet une espérance et une variance et les calculer, puis en déduire un intervalle de fluctuation à 90 %.
6. Soit λ ∈ R^+∗. Déterminer la loi de Y = λX et proposer un estimateur sans biais de λ.