Devoir non surveillé no 3 en mathématiques

Pour le lundi 9 novembre 2015
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Intégrale de Gauss

Étude d'une fonction annexe

  1. Justifier que l'intégrale I = ∫−∞+∞ exp(−t2/2) dt converge avec I = 2 ∫0+∞ exp(−t2/2) dt.
  2. On pose pour tout x ∈ R, F(x) = (∫0x exp(−t2/2) dt)2.
    Montrer que la fonction F est dérivable et exprimer sa dérivée.
  3. Montrer que pour tout x ∈ R on a F′(x) = 2x∫01 exp(−x2(1 + u2)/2) du.

Dérivation sous le signe intégrale

  1. Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b et g ∈ 𝓒2([a, b], R). Démontrer la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral : g(b) = g(a) + (b − a) g′(a) + ∫ab (b − t) g″(t) dt.
  2. Soit A ∈ R+ et u ∈ [0 ; 1].
    Montrer que la fonction g : x ↦ 2/1 + u2 exp(−x2(1 + u2)/2) est de classe 𝓒2 sur [−A ; A] et que sa dérivée seconde est majorée par 2(1 + 2A2) sur cet intervalle.
    En déduire que pour tout x ∈ ]−A ; A[, pour tout h ∈ R tel que x + h ∈ ]−A ; A[, on a |g(x + h) − g(x) − h g′(x)| ≤ h2 × (1 + 2A2).
  3. On pose pour tout x ∈ R, G(x) = ∫01 2/1 + u2 exp(−x2(1 + u2)/2) du.
    Montrer que pour tout x ∈ R, on a G(x + h) = G(x) − h F′(x) + oh→0(h).

Limites

  1. En déduire que la fonction F+G est constante et calculer sa valeur en 0.
  2. Montrer que la fonction G a une limite nulle en +∞ et en déduire la valeur de l'intégrale I.