Épreuve de mathématiques du premier concours blanc en khâgne BL

Jeudi 19 novembre 2015, 14h-18h, devoir sans calculatrice ni autre document
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Courbe de Lorenz pour une variable exponentielle

Variable aléatoire

Soit λ ∈ R∗+.

Rappeler la fonction de densité f et la fonction de répartition F d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.

Analyse de fonction

  1. Montrer que la fonction de répartition est bijective de R+ sur [0 ; 1[ et que sa réciproque s'écrit pour tout x ∈ [0 ; 1[, F−1(x) = −1/λ ln(1 − x).
  2. Pour tout x ∈ R+, calculer Q(x) = 1/E(X) ∫0x t f(t) dt
  3. Montrer que la composée h = Q ∘ φ vérifie pour tout x ∈ [0 ; 1[, h(x) = x + (1 − x) × ln(1 − x).
  4. Calculer la dérivée de h et en déduire les variations de h.
  5. Montrer que la dérivée de h est croissante.
  6. Montrer que la fonction h est prolongeable par continuité en 1.
    Le prolongement par continuité est-il dérivable en 1 ?
  7. Tracer l'allure de la courbe représentative de h, appelée courbe de Lorenz.
  8. Donner le développement limité à l'ordre 2 de la fonction h en 0.
  9. Calculer le coefficient de Gini de la loi exponentielle, c'est-à-dire ∫01 h(t) dt.

Principe de Pareto

La courbe de Lorenz permet de représenter la poids des faibles valeurs par rapport au poids total des valeurs. Selon le principe de Pareto, 20 % des valeurs concentrent 80 % du poids total. Ce n'est pas le cas ici et on essaie d'évaluer le point d'intersection de la courbe de Lorenz avec la droite d'équation y = 1 − x.

  1. Tracer cette droite sur le graphique précédent.
  2. Justifier qu'il n'y a qu'un seul point d'intersection entre la droite et la courbe.
  3. Montrer que l'ordonnée de ce point d'intersection satisfait l'équation 1 + y ln(y) = 2y.
  4. On pose pour tout t ∈ ]0 ; 1] φ(t) = 1 + t ln(t)/2.
    Montrer que le réel y de la question précédente est un point fixe de φ.
  5. Dresser le tableau de variations de φ en précisant ses limites et valeurs extrêmes.
    Expliciter l'intervalle image de φ, que l'on notera I.
  6. Montrer que l'intervalle I est stable par f et que pour tout t ∈ I on a |φ′(t)| ≤ 1/2.
  7. On définit une suite par récurrence en posant u0 = 1/2 et pour tout n ∈ N, un+1 = φ(un).
    Justifier que la suite u est bien définie à valeurs dans I et que pour tout n ∈ N on a |un+1 − y| ≤ 1/2|un − y|.
  8. En déduire que pour tout n ∈ N on a |un − y| ≤ (1/2)n+1.
  9. Justifier que u converge vers y.
  10. Sachant que ln(2) vaut 0,7 à 0,01 près, calculer une valeur approchée de u1.

Convergence des sommes de Riemann

On considère une fonction réelle g de classe 𝓒2 sur [0 ; 1].

  1. Justifier qu'il existe M ∈ R+ tel que pour tout t ∈ [0 ; 1] on ait |g″(t)| ≤ M
  2. Soit (a, b) ∈ [0 ; 1]2. Démontrer la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral : g(b) = g(a) + (b − a) g′(a) + ∫ab (b − t) g″(t) dt
    puis montrer |∫ab (b − t) g″(t) dt| ≤ M(b − a)2/2 à l'aide de la question précédente.
  3. Soit n ∈ N∗. Démontrer la majoration |g(1) − g(0) − ∑k=0n−1 1/n g′(k/n)| ≤ M/2n
  4. En déduire la convergence et la limite de la suite de terme général ∑k=0n−1 1/n g′(k/n)
  5. Donner une primitive de la fonction t ↦ 1/1 + t sur [0 ; 1].
  6. En déduire la limite de la suite de terme général ∑k=0n−1 1/n + k

Variables aléatoires discrètes

On considère deux variables aléatoires X et Y indépendantes et de même loi géométrique de paramètre p ∈ ]0 ; 1[. On pose q = 1 − p, U = X + Y et T = X − Y.

  1. Déterminer la loi de U.
  2. Calculer la probabilité P(T = 1).
  3. Calculer la covariance de T et U.
  4. Les variables T et U sont-elles indépendantes ?