Devoir non surveillé n^o 2

Étude de fonction

Pour tout n ∈ N* on pose S_n = ∑_k=1ⁿ 1/k, a_n = S_n − ln(n) et b_n = a_n+1 − a_n.

1. Montrer que pour tout réel x > −1 on a ln(1 + x) ≤ x.
2. En déduire que pour tout n ∈ N* et pour tout réel t ≤ n on a (1 − t/n)ⁿ ≤ e^−t.
3. Étudier les variations de la fonction h : t ↦ t + n ln(1 − t/n) − ln(1 − t²/n) sur [0, √n[ .
4. Montrer que pour tout t ∈ [0, √n] on a 0 ≤ e^−t − (1 − t/n)ⁿ ≤ t²/n e^−t.
5. Montrer que les inégalités précédentes sont encore valables sur t ∈ [√n ; n].

Convergence de suite et série

On pose pour tout n ∈ N*, I_n = ∫₀ⁿ (e^−t − (1 − t/n)ⁿ)/t dt.

1. Justifier la convergence de l'intégrale et montrer que la suite (I_n) converge vers 0.
2. Exprimer la somme ∑_k=0ⁿ⁻¹ ∫₀ⁿ (1 − t/n)^k dt en fonction de S_n pour tout n ∈ N*.
3. Démontrer l'égalité S_n = ∫₀ⁿ (1 − (1 − t/n)ⁿ)/t dt pour tout n ∈ N*.
4. Donner un équivalent de la suite (b_n) sous la forme (c/n^α) avec (c, α) ∈ R².
   En déduire la nature de la série (∑b_n).
5. Montrer que la suite (a_n) converge. (On ne cherchera pas à calculer cette limite.)

Dans toute la suite, on notera ℓ la limite de la suite (a_n).

Convergence d'intégrale

1. Justifier la convergence des intégrales J = ∫₀¹ (1 − e^−t)/t dt et K = ∫₁^+∞ e^−t/t dt.
2. Montrer que la suite (a_n − I_n) converge vers J − K.
3. Montrer que l'intégrale L = ∫₀¹ (1 − e^−t − e^−1/t)/t dt et calculer sa valeur en fonction de ℓ.
4. Pour tout x > 0, montrer l'égalité ∫₀^x (1 − e^−t)/t dt = ℓ + ln(x) + ∫_x^+∞ e^−t/t dt.
5. En déduire lim_x→0⁺ ln(x) + ∫_x^+∞ e^−t/t dt = −ℓ.
6. Montrer que l'intégrale M = ∫₀¹ e^−t ln(t) dt converge et calculer sa valeur en fonction de ℓ.
7. Pour tout (a, b) ∈ (R^∗+)², calculer ∫₀^+∞ (e^−at − e^−bt)/t dt et calculer ∫₀¹ (t − 1)/ln(t) dt.