Devoir surveillé n^o 1

Algorithme de Héron

L'algorithme de Héron donne ces premières approximations de √(3) :

• x₁ = 2
• x₂ = 2 + 3/2/2)
• x₃ = 7/4 + 3 × 4/7/2)

1. Réduire les expressions de ces trois valeurs et les placer sur un axe orienté en justifiant l'ordre annoncé.
2. Calculer une valeur approchée décimale de x₃ à 10⁻² près.
3. Montrer que √(3) est compris entre 1,7 et x₃.

Résolution d’équations

Résoudre les équations suivantes d’inconnue réelle x en précisant systématiquement le domaine d’étude au préalable.

• 3x² = 7x − 2
• √(4 − 5x) = 3x − 2

Inéquations

Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue réelle x en précisant systématiquement le domaine d’étude au préalable.

• 2/3x − 1) ≤ 5x − 2/x + 2)
• √(3x² + 5x + 2) < 2

Démonstrations

1. Démontrer que tout entier naturel a la même parité que son carré.
2. Démontrer que pour tout n ∈ N^∗, le dernier chiffre de 5ⁿ est 5.

Étude de fonction

Calculer la dérivée et étudier les variations de la fonction f : x ↦ x² + 5x + 6/2x − 1) en précisant ses points d’annulation.