Devoir surveillé no 3

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Devoir à faire en 3 h sans sortie anticipée. Les calculatrices sont interdites.

Les élèves veilleront à numéroter toutes les copies et y inscrire leur nom.
Les résultats de chaque question doivent être encadrés.

Étude de fonction

On considère la fonction définie pour tout x ∈ R∗+ par f(x) = ln(1 + 2x)/x − 1.

  1. Montrer que la fraction ln(1 + 2x)/x peut s’écrire comme un taux d’accroissement et en déduire que la fonction f admet une limite finie en 0 et préciser cette limite.
  2. Déterminer une fonction h définie sur R∗+ telle que pour tout réel x non nul sur cet intervalle, f′(x) = h(x)/x2.
  3. Étudier les variations de h puis en déduire celles de f.
  4. Montrer que la fonction f s'annule en un unique réel α. (On admettra α ≈ 1,26.)
  5. Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Pentagone

  1. Rappeler combien vaut la somme des racines cinquièmes de l'unité dans C.
  2. En déduire la relation 2 cos(4π/5) + 2 cos(2π/5) + 1 = 0.
  3. Montrer que pour tout θ ∈ R on a cos(2θ) = 2 cos2(θ) − 1.
  4. En déduire que cos(2π/5) est solution de l’équation 4x2 + 2x − 1 = 0.
  5. Calculer toutes les solutions de l’équation ci-dessus et en déduire la valeur de cos(2π/5) et de sin(2π/5).

Comparaison de croissance

Pour tout n ∈ N on note qn = n/2n

  1. Montrer que la suite est strictement positive à partir du rang 1 et que pour tout n ≥ 2 on a qn+1 ≤ 3/4 qn.
  2. En déduire que pour tout n ∈ N on a 0 ≤ qn ≤ (3/4)n.

Suite avec une fonction de récurrence harmonique

On définit la fonction h : x ↦ 5x + 8/3x + 7.

  1. Montrer que la fonction h est bien définie sur R+ et que cet intervalle est stable par h.
  2. En déduire qu’en posant p0 = 0 et pour tout n ∈ N, pn+1 = h(pn) on définit une suite positive.
  3. Calculer p1 et p2. Montrer que la fonction h admet un unique point fixe négatif que l’on notera α.
  4. On pose pour tout n ∈ N, qn = pn − α. Montrer que la suite (qn) ne s’annule pas et que son inverse (rn) = (1/qn) vérifie la relation pour tout n ∈ N, rn+1 = 3 + rn/11.
  5. Montrer que l’équation x = 3 + x/11 admet une unique solution positive que l’on appellera β.
  6. Montrer que la suite (sn) = (rn − β) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
  7. En déduire les expressions du terme général pour les suites (sn) (rn) (qn) (pn)