J’ai rêvé cette nuit de cubes à 8 chiffres dont on ne pouvait lire que les trois premiers chiffres à gauche. Se pouvait-il que ces chiffres forment justement le nombre dont le cube était à deviner ? Et plus généralement, quels sont les entiers dont les chiffres constituent les premiers chiffres à gauche de leur cube ?
Conditions nécessaires
L’entier 0 ainsi que toutes les puissances de 10 sont clairement des solutions du problème. Mais en existe-t-il d’autres ?
En notant n ∈ N∗, le fait que son cube commence avec les chiffres de n s’écrit n × 10p ≤ n3 < (n + 1) × 10p, c’est-à-dire 10p/2 ≤ n < √(1 + 1n) × 10p/2. Mais toute solution vérifie √(1 + 1n) ≤ 1 + 12n ≤ 1 + 1(2 × 10p/2). On distingue alors deux cas selon la parité de p.
- Si p est pair, en notant p = 2k, on obtient les inégalités 10k ≤ n < 10k + 12, dont seul 10k est solution.
- Si p est impair, en notant p = 2k + 1, on obtient les inégalités 10k√10 ≤ n < 10k√10 + 12, qui n’a une solution que si la partie fractionnaire de 10k√10 est supérieure strictement à 12, autrement dit si le (k+1)-ième chiffre après la virgule est supérieur ou égal à 5 dans le développement décimal de √10. Dans ce cas, la solution est la partie entière par excès de 10k√10.
Condition suffisante
La condition énoncée dans ce deuxième cas est-elle toujours suffisante ? Avec l’approximation √10 ≈ 3,162277660168379 (le chiffre suivant fourni par Python est erroné, même avec un arrondi par excès), on peut vérifier que 32, 31 623, 316 228 et 3 162 278 par exemple sont bien des solutions du problème. Mais il se pourrait que l’inégalité sur la racine carrée soit trop large et que des nombres entiers obtenus à partir du développement décimal de √10 ne satisfassent pas la propriété recherchée.
En utilisant une inégalité analogue pour l’inverse 1√(1 + 1n) ≤ 1 − 12n + 38n2, on trouve n√(1 + 1n) ≤ n − 12 + 38n ≤ n − 0,4 dès lors que 38n ≤ 0,1 ⇔ n ≥ 154. Par conséquent, dès qu’apparait un chiffre supérieur ou égal à 6 dans le développement décimal de √10, les chiffres précédents définissent un entier qui, incrémenté de 1, définit une solution au problème.
L’existence d’une infinité de solution est liée au caractère simplement normal du nombre √10 en base 10, ce qui reste une conjecture dans l’état actuel de nos connaissances.